Передаточная Функция

Рассмотрим снова уравнение (8)

.

Применим к левой и правой частям преобразование Лапласа, считая, что все начальные условия нулевые. Получается уравнение в изображениях, связывающее преобразования Лапласа входа X(s) и выхода Y(s)

.

Можно вынести за скобки Y(s) в левой части и X(s) в правой части

.

Разделив обе части этого равенства на , получаем

. (19)

Сравнение (12) и (19) показывает, что W(s) – это передаточная функция объекта, записанная в виде функции от комплексной переменной s, а не от оператора дифференцирования p , как в (12).

Таким образом, при нулевых начальных условиях изображение выхода линейного объекта вычисляется как произведение его передаточной функции на изображение входного сигнала.

Из (19) следует и другой важный вывод: передаточная функция равна отношению изображений по Лапласу выхода и входа при нулевых начальных условиях.

Пример

Рассмотрим пример использования преобразования Лапласа для вычисления выхода системы при известном входном сигнале. Пусть объект управления описывается уравнением первого порядка

.

и на его вход поступает единичный ступенчатый сигнал x(t) = 1(t) . Требуется найти сигнал выхода y(t), который в данном случае представляет собой переходную характеристику.

Решим эту задачу с помощью передаточных функций и изображений сигналов по Лапласу. Чтобы найти изображение выхода по формуле (19), нужно знать изображение входного сигнала X(s) и передаточную функцию звена W(s). Изображение входа находим по табличным данным (см. (15)), а передаточную функцию – из заданного уравнения, повторяя приведенные выше рассуждения

.

Теперь находим изображение выхода

.

и представляем его в виде суммы элементарных дробей

.

Используя принцип суперпозиции для изображений (17), вычисляем оригинал – сигнал выхода

.

Обратные преобразования Лапласа находим по таблице

при t > 0,

что совпадает с (7). Таким способом можно вычислять реакцию системы на известный входной сигнал без прямого решения дифференциального уравнения.

Применяя формулы (18) для вычисления начального и конечного значений сигнала выхода y(t). При ступенчатом входном сигнале с изображением получаем

,

Таким образом, для рассмотренного выше примера

.

Значение W(0) называют статическим коэффициентом усилениязвена, поскольку он показывает, во сколько раз усиливается постоянный сигнал.