Тип 4. Линейные уравнения.


Уравнение , линейное относительно неизвестной функции у и ее производной , называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Функции a(x), b(x) должны быть непрерывны в некоторой области.

Если b(x) = 0. то уравнение называют однородным линейным дифференциальным уравнением.

Общее решение линейного дифференциального уравнения всегда можно записать в виде:

, где с – произвольная постоянная.

Полезно иметь в виду, что иногда дифференциальное уравнение является линейным относительно х как функции у, т.е. может быть приведено к виду

Его общее решение находится по формуле:

, где с – произвольная постоянная.

Алгоритм решения:

1 способ.

Найти решение дифференциального уравнения по формуле .

2 способ.

Ввести 2 неизвестные функции u(x) и v(x) по формуле y=u(x)v(x) (подстановка Бернулли). Тогда . Подставив выражение для y и в уравнение получим уравнение , которое преобразуется к виду Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций, например , может быть выбрана достаточно произвольно (так как только произведение должно удовлетворять исходному уравнению), составляем систему: . Из первого уравнения (уравнение с разделяющимися переменными) находим v=v(x), затем из второго уравнения находим u=u(x,C). Затем находим общее решение уравнения y= v(x)◦ u(x,C).

Примеры.

-линейное дифференциальное уравнение (линейное относительно y).

- линейное дифференциальное уравнение (линейное относительно х).



Дата добавления: 2017-03-12; просмотров: 1324;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.006 сек.