Свойства определенного интеграла.

Из определения определенного интеграла вытекают следующие его свойства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Если , то ;

6. ;

7. Если и – наименьшее и наибольшее значения функции на интервале , то

;

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Вычисление определенного интеграла сводится к нахождению неопределенного интеграла и дальнейшим вычислениям с пределами интегрирования.

Формула интегрирования по частям принимает вид

Пример. Вычислить .

Положим . Тогда . По формуле получим

Формула замены переменной приобретает вид

;

где и .

При применении формулы изменение пределов интегрирования делает ненужным возврат к старой переменной. Заметим, что функция отображает интервал на интервал . Непременным условием является дифференцируемость функции на интервале , а также ее монотонность на этом интервале.

Пример. Вычислить .

Воспользуемся тригонометрической подстановкой , . Функция дифференцируема и монотонна внутри интервала , причем . Значит пределы интегрирования переменной будут и . Используя формулу (7), получим