Непрерывные случайные величины.

Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал.

Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе.

Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей . Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины:

Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем х.

Формула (3.4) и свойства 1° и 2° справедливы для функции распределения любой случайной величины. Доказательство проводится аналогично случаю дискретной величины.

Случайная величина называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция (функция называется кусочно-непрерывной на всей числовой оси, если она на любом сегменте или непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва I рода) , удовлетворяющая для любых значений xравенству

(3.5)

Функция называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения. Если , то на основании формул (3.3) и (3.4) имеем

(3.6)

Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств равна площади криволинейной трапеции с основанием , ограниченной сверху кривой (рис. 3.6).

Так как , а на основании формулы (26) , то

(3.7)

Далее, пользуясь формулой (3.5), найдем , производную от , как производную от интеграла по переменной верхней границе, считая плотность распределения непрерывной. Правило дифференцирования интеграла с переменной верхней границей, выведенное в случае конечной нижней границы, остается справедливым и для интегралов с бесконечной нижней границей. В самом деле,

Так как интеграл есть величина постоянная. Таким образом

(3.8)

Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х) непрерывна в любой точке х, где функция непрерывна. Это следует из того, что F(х) в этих точках дифференцируема.

Далее, на основании формулы (3.6), полагая , , имеем:

В силу непрерывности функции F(х) получим, что . Следовательно . Таким образом,

вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю.

Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств: имеют одинаковую вероятность, т.е.

В самом деле, например,

так как .

Замечание.

Как мы знаем, если событие невозможно, то вероятность его наступления равна нулю. При классическом определении вероятности, когда число исходов испытаний конечно, имеет место и обратное предложение: если вероятность события равна нулю, то событие невозможно, так как в этом случае ему не благоприятствует ни один из исходов испытания.

В случае непрерывной случайной величины число возможных ее значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное значение как мы видели, равна нулю. Однако отсюда не следует, что это событие невозможно, так как в результате испытания случайная величина может, в частности, принять значение .

Поэтому в случае непрерывной случайной величины имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет какое-то конкретное значение.

Так, например, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу. Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска.

Пример 20. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:

График функции представлен па рис. 3.7.

Рис. 8

Определить: 1) вероятность того, что случайная величина примет значение, удовлетворяющее неравенствам . 2) Найти функцию распределения заданной случайной величины.

Решение: Используя формулу (3.6), имеем:

По формуле (3.6) находим функцию распределения F(x) для заданной случайной величины. Если , то .

Если , то

Итак,

График функции F(x) изображен на рис. 3.8.

Следующие три пункта посвящены часто встречающимся на практике распределениям непрерывных случайных величин — равномерному, экспоненциальному и нормальному распределениям.

5. Равномерное распределение.

Пусть сегмент на оси Ox есть шкала некоторого прибора. Допустим, что вероятность попадания указателя в некоторый отрезок шкалы пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от места отрезка на шкале. Отметка указателя прибора есть случайная величина могущая принять любое значение из сегмента . Поэтому . Если, далее, и - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем , где k - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и , а разность , - длина сегмента . Так как при и имеем , то , откуда . Таким образом

(3.9)

Теперь легко найти функцию F(x) распределения вероятностей случайной величины . Если , то так как не принимает значений, меньших a. Пусть теперь . По аксиоме сложения вероятностей . Согласно формуле (3.9), в которой принимаем и , имеем . Так как , то при получаем . Наконец, если , то , так как значения лежат на сегменте и, следовательно, не превосходят b. Итак, приходим к следующей функции распределения:

.

График функции F(x) представлен на рис. 3.9.

Плотность распределения вероятностей найдем по формуле (3.8). Если или , то . Если , то

.

Таким образом,

(3.10)

График функции изображен на рис. 3.10. Заметим, что в точках aи b функция терпит разрыв.

Величина, плотность распределения которой задана формулой (3.10), называется равномерно распределенной случайной величиной.

Дата добавления: 2017-02-13; просмотров: 1482;