Эффективность пространственной фильтрации в представлении функций взаимной когерентности

Практическая реализация пространственной фильтрации, основанная на том, что параксиальное изображение, даваемое оптической системой, есть пространственное преобразование Фурье от распределения интенсивности в пространстве предметов, известна с времен Аббе. Спектр пространственных гармоник, из которых формируется изображение, можно изменять, вставляя соответствующие маски в фокальную плоскость фурье-объектива, и тем самым корректировать изображение.

Наиболее известная (и очень красивая) иллюстрация этой методики ― это фазоконтрастная микроскопия, впервые примененная Цернике. Если ввести управляемый сдвиг фаз между прямым и дифрагированным светом, то можно при наблюдении под микроскопом выявить фазовые изменения в просвечиваемых образцах, которые иначе не видны (амплитудных изменений нет, т.е. образцы прозрачны). Управляя также и фоновой засветкой (что изящно осуществляется посредством использования поляризованного света), можно увеличить контраст изображения в значительной степени.

Имеется ряд оптических приборов, восстанавливающих изображение на основании метода фазового контраста. При этом те или иные операции даже легче осуществлять, чем в радиодиапазоне, поскольку спектр естественным образом получается в результате самого процесса дифракции (пространственное разделение гармоник). Залогом эффективности метода является обеспечение достаточной степени когерентности в плоскости фильтра.

Реальный свет всегда обладает частичной когерентностью. Луч света, занимающего полосу частот Δν и испускаемого источником с поперечным сечением σ, обеспечивает когерентность в области протяженностью c/Δν вдоль оптической оси и в любых двух точках плоскости, перпендикулярной оптической оси, если только эти две точки находятся в пределах дифракционного диска, соответствующего источнику σ как отверстию дифракционной диафрагмы (диска Эйри). Это следует из теоремы Ван-Циттерта-Цернике, которая формулируется в общем виде довольно сложно, но физический смысл имеет достаточно простой: любой источник, угловые размеры которого меньше диска Эйри, можно рассматривать как когерентный. Тем самым имеем некоторый объем фазового пространства (частота-импульс), в пределах которого когерентность гарантирована. Этому объему можно поставить в соответствие область конфигурационного пространства, в пределах которого можно наблюдать фотонное вырождение, тем большее, чем выше степень когерентности.



Напомним, что само понятие диска Эйри достаточно условно. Оно базируется на критерии Рэлея, но критерий Рэлея субъективен: он подразумевает визуальное наблюдение провала в интенсивности при наблюдении близких дифракционных картин от двух точечных источников. Если отказаться от столь несовершенного в смысле регистрации изменений интенсивности фотоприемного устройства, как глаз (он обладает очень сильной нелинейностью), то можно определять разницу интенсивностей не в 20%, как предписывает критерий Рэлея, а такую, какую способен зарегистрировать фотоприемник на пределе чувствительности. А если учесть, что эта самая разница интенсивностей пропорциональна степени фотонного вырождения в пределах рассматриваемой области пространства, то получим, что можно измерять степень фотонного вырождения в пределах от 10-3 (классические опыты Брауна и Твисса) до 1012 для газовых лазеров.

Для описания корреляции между оптическими возмущениями в двух точках пространственно-временной области используется функция взаимной когерентности Вольфа Γ(x1, x2, τ). Строится она следующим образом. Рассмотрим одномерное оптическое возмущение (одну из компонент электрического вектора) в виде

(24.29)

Здесь интеграл Фурье берется в действительной форме по положительным частотам. Такому реальному возмущению соответствует комплексный аналитический сигнал

, (24.30)

где

, (24.31)

а и v(i) (t) связаны преобразованием Гильберта:

(24.32)

Здесь Р означает главное значение соответствующего интеграла (взятие интеграла в симметричных пределах).

Наблюдаемой величиной является

, (24.33)

где G(ω) – спектральная плотность мощности сигнала , рассматриваемого как стационарная случайная функция времени.

Располагая аналитическим сигналом v(t), можно определить функцию взаимной когерентности Вольфа как перекрестную корреляцию комплексного возмущения в двух точках пространства в различные моменты времени:

(24.34)

Заметим, что Γ12 (0) выражает пространственную корреляцию в одно и то же время, а Γ11 (τ) ― временную корреляцию в данной точке пространства. В этом плане, например, звездный интерферометр Майкельсона есть анализатор пространственных гармоник, а двухлучевой интерферометр Юнга ― анализатор временных гармоник.

С функцией Γ12 (τ) связана нормированная комплексная степень когерентности:

(24.35)

где и ― значения интенсивностей в точках 1 и 2 в отсутствие взаимодействия.

Функция Вольфа удовлетворяет двум волновым уравнениям:

(24.36)

Действуя аналогично предыдущей главе (выполняя преобразование Фурье и переходя от волновых уравнений к уравнениям Гельмгольца), запишем для первого уравнения Гельмгольца:

(24.37)

Здесь ― фурье-амплитуда функции Вольфа, представленной в виде:

В (24.37) введено комплексное возмущение в точке , обусловленное точечным источником, находящимся в точке , на частоте ω.

Для второго уравнения Гельмгольца:

, (24.38)

где выбирается так, чтобы обеспечить выполнение условия

,

вытекающего из определения Γ12 (τ) и предположения о стационарности; в свою очередь, отсюда следует:

Подставляя (24.37) в (24.38), получим:

(24.39)

Выполним преобразование Фурье во временной области и наложим условие стационарности на комплексное распределение освещенности в изображении точки. Получим окончательно:

(24.40)

Из (24.40) при и τ→0 получается распределение интенсивности в плоскости изображения. В дальнейшем удобно рассматривать квазимонохроматический сигнал Δω « ( ― средняя частота излучения, Δω ―ширина спектральной полосы, так что ). Для этого случая имеем:

Поскольку

« 1,

можно записать:

или

(24.41)

Подставляя (24.41) в правую часть (24.40), получим:

(24.42)

Полученное выражение (24.42) позволяет подчеркнуть принципиальную разницу между случаями освещения интересующего нас предмета когерентным и некогерентным светом. Эта разница выражается в различном виде функций . Для полностью когерентного освещения:

= (24.43)

Подставляя (24.43) в (24.42) при условии и пренебрегая зависимостью от , получим для распределения интенсивности в плоскости изображения:

,

или, более компактно,

(24.44)

Из (24.44) видно, что при когерентном освещении объекта оптическая система является линейным фильтром по отношению к комплексной амплитуде. Иначе говоря, передаточная функция оптической системы при когерентном освещении представляет собой преобразование Фурье от u( ), равное комплексной амплитуде на выходном зрачке. Это позволяет выделять любую фурье-гармонику в пространственном спектре и отслеживать ее поведение, если в этом есть необходимость, т.е. управлять структурой изображения.

Если же объект освещается некогерентным светом, то функция Вольфа в пространстве предметов имеет вид:

(24.45)

В этом случае каждая точка объекта излучает свет независимо от другой. Подставляя (24.45) в (24.42) и переходя к пределу аналогично предыдущему случаю ( ), получим:

(24.46)

т.е. при некогерентном освещении оптическая система является линейным фильтром по отношению к интенсивности. Передаточная функция в этом случае представляет собой свертку с ее комплексно сопряженной величиной (см. Гл.25). Это обычная аппаратная функция оптических приборов (квадратичных детекторов и преобразователей интенсивности).






Дата добавления: 2017-01-26; просмотров: 149; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2017 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.011 сек.