Фильтр временных частот


 

Преобразование ФВЧ представляет собой действие на x(t) линейного интегрального оператора:

(24.1)

Оператор L(t) удовлетворяет условиям:

1) , где a и b – постоянные числа (линейность);

2) (инвариантность);

(эти два условия объединяются с помощью записи соотношения:

, (24.2)

причем у оператора L(t) нетрудно установить собственную функцию: это экспонента exp(st) , где t ―действительная переменная, s ―комплексный параметр);

3) при t < 0 (условие физической осуществимости, отражающее принцип причинности);

4) < ∞ (условие устойчивости, означающее конечность выходного сигнала при конечности сигнала на входе).

Условия 3) и 4) объединяются с помощью преобразования Лапласа для h(t) :

 

(24.3)

 

Здесь s = σ + iω ― комплексное число (σ, ω ―действительны). В случае σ = 0 преобразование Лапласа превращается в преобразование Фурье

 

( 24.4)

 

Условие устойчивости в случае записи преобразования в форме Лапласа означает абсолютную сходимость интеграла для H(s) вдоль мнимой оси, а физической осуществимости ― факт расположения всех особенностей функции H(s) в левой полуплоскости.

Принято разделять входные сигналы x(t) на детерминированные и случайные. Детерминированные сигналы, в свою очередь, подразделяются на периодические и непериодические; в каждом из которых фурье-образы входного и выходного сигналов связаны соотношением

 

Y(ω) = H(ω)X(ω) (24.5)

 

Для случайных сигналов образ Фурье в общем случае не существует, поэтому оперируют не с самими случайными величинами, а с их моментами.

Используем эти интегральные представления для преобразования электромагнитной волны оптической системой (рис. 24.2).

 

 
 

Рис.24.2

Преобразование электромагнитной волны обобщенной оптической системой

 

Распределение интенсивности излучения в плоскости (ξ,η) предметов обозначим о(ξ,η). Нашей задачей является найти распределение i(x,y) в плоскости изображений (x,y).

При этом введем в рассмотрение функцию Грина s(x-ξ,y-η), описывающую распределение интенсивности света в плоскости (x,y) от точечного источника, расположенного в плоскости (ξ,η). Распределение интенсивности (освещенности) в плоскости (x,y) тогда запишется в виде двойного интеграла

, (24.6)

а при переходе к фурье-образам получим:

I(ω) = τ(ω )0(ω) (24.7)

где I(ω) = I(ωxy) = , , а

(24.8)

― нормированная передаточная функция. Иногда ее называют частотно-контрастной характеристикой.

Условия 1) ― 4), сформулированные для ФВЧ, справедливы и для ФПЧ. Единственное различие заключается в том, что условие физической осуществимости, вытекающее из принципа причинности, не играет в данном случае существенной роли (не так уж важно, когда именно свет прошел через оптическую систему).


Аналогом дельта-импульса во временном представлении является точечный источник света в пространстве объектов. Функция Грина, или функция рассеяния ― аналог импульсной функции ― распределение освещенности в изображении точки. Оптическая частотная характеристика, или частотно-контрастная характеристика ― преобразование Фурье (двумерное) от этой функции. Изобразим оптическую систему как совокупность четырех плоскостей (рис. 24.3):

Рассмотрим изолированный точечный источник Р. Он излучает сферические волны, часть которых входит в оптическую систему (ОС). ОС преобразует сферически расходящийся волновой фронт (поверхность равной фазы или равного оптического пути) в сферически сходящийся к точке P´ волновой фронт, являющийся гауссовым изображением точки Р. Точка Р´ является результатом взаимодействия входного волнового фронта с ОС.

Амплитуда исходной волны удовлетворяет волновому уравнению:

(24.9)

Без ограничения общности можно считать, что ― одна из составляющих электрического вектора, находящегося в состоянии естественной поляризации, т.е. писать волновое уравнение в скалярной форме.

Выполняя для преобразование Фурье,

(24.10)

получим для уравнение Гельмгольца:

, (24.11)

где k=ω/c=2π/λ – волновое число.

Опустим далее индекс у u, имея в виду, что мы все время работаем с фурье-образом по времени. В уравнении (24.11) фигурируют только пространственные производные.

Функция Грина, как известно, удовлетворяет уравнению (24.11) с δ-образной правой частью:

(24.12)

В свободном пространстве функция Грина изображается сферически-симметричной функцией

(24.13)

Чтобы определить u в произвольной точке, находящейся в плоскости изображения, применим классическую формулу Грина из векторного анализа, связывающую значение u в точке с интегралом от функции Грина по поверхности, окружающей эту точку:

, (24.14)

где ― элемент замкнутой поверхности, окружающей точку Р’.

Примем поверхность σ в виде плоскости выходного зрачка Σ΄ и бесконечной сферы Σ΄΄, окружающей точку Р’. В силу u→0 при r→∞ можно пренебречь вкладом сферической поверхности Σ΄΄. Кроме того, на выходном зрачке выделим собственно зрачок Σ и неосвещенную часть Σ΄, где можно положить . Тогда интеграл (24.14) сводится к следующему:

(24.15)

где интегрирование ведется только по выходному зрачку.

Но это еще не все упрощения, которые можно сделать. Если потребовать, чтобы функция Грина удовлетворяла условию при , то в (24.15) можно пренебречь первым членом в подынтегральной функции по сравнению со вторым (функция Грина мала, но ее производная по нормали не обязана быть малой). Для построения такой функции Грина используем метод изображений, т.е. поместим один точечный источник в точку наблюдения Р', а другой ― в точку Р1', являющуюся зеркальным отражением Р' относительноплоскости выходного зрачка (рис.24.4).

 
 

Рис. 24.4



Дата добавления: 2017-01-26; просмотров: 999;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.012 сек.