Трехуровневая схема.

Обозначим населенности уровней трехуровневой активной среды (рисунок 3.3) через N₁, N₂ и N₃.

Тогда число индуцированных переходов с нижнего уровня на третий в единицу времени (вероятность вынужденных переходов) W₁₃ под действием излучения накачки (рассматриваем случай оптической накачки) будет равно W₁₃N₁, а в обратном направлении W₁₃N₂. Вероятность W₁₃ пропорциональна интенсивности накачки. Тогда уравнения, описывающие трехуровневую систему, могут быть записаны в виде

(3.15)     (3.16)   (3.17)

где величина W=σJ по-прежнему обозначает вероятность вынужденных переходов между основными лазерными уровнями 1 и 2, τ - время жизни на уровне 2 относительно безызлучательных переходов, а τ₃₂ – время безызлучательных переходов активных центров с уровня 3 на уровень 2.

Одно из уравнений можно исключить, если предположить, что на третьем уровне не происходит накопление активных центров, т.е. N₃<<N₁ и .Это предположение справедливо, если W₁₃<<1/ τ₃₂ , то есть когда все активные центры, заброшенные накачкой на 3 уровень, быстро по сравнению со временем возбуждения переходят на метастабильный 2 уровень. Для, например, рубинового лазера, работающего по трехуровневой схеме, указанное предположение всегда выполняется, поскольку τ₃₂~10^-2с.

В таких предположениях система (3.15)-(3.17) сводится к уравнению для инверсной населенности Δ:

(3.18)

где N₀=N₁+N₂+N₃ – полное число активных центров.

Вместе с уравнением (3.11а) уравнение (3.18) образует полную систему уравнений, описывающих изменение инверсной населенности и интенсивности излучения в лазере. Эти уравнения называют усредненными балансными уравнениями, поскольку они описывают баланс энергий в лазере.

(3.11а)

(3.18)

Следует обратить внимание на коэффициент 2 в первом члене правой части уравнения (3.18). Его наличие означает, что акт вынужденного излучения одного фотона ведет к изменению инверсной населенности на 2, поскольку при этом населенность верхнего лазерного уровня убывает на 1, а нижнего увеличивается на 1. В стационарном режиме производная равна 0 и

(3.19)

Из (3.19) видно, что для получения инверсной населенности накачка должна обеспечивать выполнение неравенства W₁₃>1/τ.

Полагая в (3.19) J=0, можно определить величину коэффициента усиления малого сигнала α₀=σΔ.

(3.20)

Малым называется сигнал, при распространении которого в активной среде не происходит заметного изменения инверсной населенности.

Подставляя в формулу (3.19) пороговое значение инверсной населенности из (3.13), и учитывая, что при пороговых условиях J=0, определим пороговую величину W_13п, пропорциональную значению интенсивности накачки:

(3.21)

Типичный вид зависимости пороговой мощности накачки от коэффициента пропускания выходного зеркала τ» (I―r) приведен на рисунке 3.4. По мере увеличения прозрачности зеркала пороговая мощность накачки возрастает сначала очень медленно (когда коэффициент отражения близок к единице), а затем (при r > 0,5) с нарастающей скоростью.

Для интенсивности излучения J в непрерывном режиме решение уравнений (3.11) и (3.18) дает выражение

. (3.22)

Полученная таким образом величина J представляет собой среднюю суммарную плотность потока фотонов, движущихся в резонаторе в обоих направлениях вдоль оси х.