Уравнения для интенсивности излучения

В лекции 2 было установлено, что в среде с инверсной населенностью прохождение резонансного электромагнитного излучения вызывает вынужденные переходы с испусканием фотонов, аналогичных фотонам падающего (вынуждающего) излучения.

Рассмотрим параллельный монохроматический пучок света с интенсивностью J (число фотонов в единицу времени через единицу площади), распространяющийся вдоль осиzчерез слой активной среды с резонансной ему системой энергетических уровней Е₁ и Е₂(рисунок 3.1а).

Число индуцированных переходов в единицу времени в единичном объеме из состояния 2 в состояние 1 составит величину

WN₂ =σJN₂,

а число обратных переходов

WN₁ =σJN₁,

где W –вероятность вынужденного перехода,

N_i– населенность i-того уровня,

σ –поперечник вынужденного перехода.

В обычных условиях при термодинамическом равновесии распре­деление населенностей атомных уровней подчиняется закону Больцмана (2.2). Следовательно, N2<N1, Δотрицательна и по мере распространения излучения в среде его интенсивность уменьшается. Для получения лазерного эффекта, т.е. усиления света необходимо обеспечить такие условия, при которых величина Δ была бы положительной.

Таким образом, вопрос о возможности усиления и генерации света на основе эффекта индуцированного излучения сводится к вопросу создания возбужденной среды с инверсной населенностью, для которой выполняется условие N2>N1. Выше (лекция 2) уже говорилось, что процесс создания инверсной населенности называется накачкой.

В качестве модели для рассмотрения возьмем активную среду твердотельного лазера с зеркалами резонатора, нанесенными непосредственно на торцы активного элемента (рисунок 3.2а). Левое зеркало полностью отражающее, правое имеет коэффициент отражения r.

В рассмотрении учтем, что в любой активной среде происходят потери излучения за счет нерезонансного поглощения, рассеяния и других причин. Выразим все эти потери через коэффициент β, такой, что затухание световой волны подчиняется экспоненциальному закону J(z)=J₀e ^-βz . В кристаллических лазерах типичное значение βсоставляет величину 0,01…0,03 см^-1.

Лазерное излучение в резонаторе представляет собой наложение двух волн (рисунок 3.2). Одна из этих волн распространяется в положительном направлении оси z и имеет интенсивность J₂, другая волна распространяется в противоположном направлении и имеет интенсивность J₁. Часть излучения J₂, проходя через частично пропускающее зеркало, становится выходной интенсивностью J_Σ= J₁(l)(1-r).

Уравнения для приращения интенсивности излучения на длине Δх могут быть записаны в виде [1]:

J₁(x +Δх,t+ Δt) - J₁(x, t) = (σΔ-β) J₁(x, t) Δх, (3.1)

J₂(x -Δх,t+ Δt) – J₂(x, t) = (σΔ-β) J₂(x, t) Δх. (3.2)

J₁ (z=0)= J₂ (z=0), иJ₁ (z=l)= r J₂ (z=l) . (3.5)

Введем обозначения J₊ =J₁ + J₂ , J_- =J₁ - J₂ . Складывая правые и левые части уравнений (3.3) и (3.4), получим

. (3.6)

Усредним это уравнение по длине активной среды и т.д.:

(3.7)

Из рисунка 3.2 видно, что суммарное излучение J₊ =J₁ + J₂слабо меняется вдоль оси резонатора. Можно также предположить, что малым по сравнению с самой инверсной населенностью будет ее изменение по х.

В этом случае среднее значение произведения ΔJ₊ можно заменить на произведение их средних значений:

(ΔJ₊)_ср ={[Δ_ср─ δΔ(x)] [J_+ср─ δJ(x)]}_ср =Δ_срJ_ср + [δΔ(x) δJ(x)]_ср≈ Δ_срJ_+ср. (3.8)

Действительно, линейные члены пропадают, поскольку [δΔ(x)]_ср=0 и [δJ(x)]_ср=0, а членами второго порядка пренебрегаем в силу сделанного предположения.

Граничные условия преобразуются для J₊ и J_- к виду:

J_- (0) = 0, (3.9)

(3.10)

В дальнейшем будем использовать обозначения Δ_ср=Δ, J_+ср=J.