Равновеликие конические проекции
Рассмотрим сначала эти проекции на шаре.
В конических проекциях меридианы и параллели пересекаются под прямым углом 90° . Вот почему на основании (4.2) можем записать
.
Подставляя вместо и их значения из (6.2) и (6.5) и приняв ,имеем
откуда находим
.
Интегрируя левую и правую части этого выражения, найдём
где - постоянная интегрирования, имеющая ту же размерность, что и , т.е. м2 или км2.
Введём новую постоянную
, (6.35)
с учетом (6.35) получим окончательно для радиуса
. (6.36)
Таким образом, мы получим функцию, определяющую радиус параллели в явном виде.
Для практического использования проекции помимо необходимо знать также) и .
Задавая по тем или иным критериям эти величины, мы будем иметь различные конические равновеликие проекции.
Определим широту параллели, где увеличение будет наименьшим. Для этого подставим в выражение (6.5) значение из (6.36)
. (6.37)
Возведем левую и правую части (6.37) в квадрат
. (6.38)
Исследуем функцию (6.38) на минимум, полагая, что минимуму соответствует минимум
или
.
Заменим в числителе . Тогда
. (6.39)
Для определения широты , на которой , приравняем производную к нулю. Знаменатель в (6.39) не может быть больше единицы. Вот почему для того, чтобы дробь (6.39) была равна нулю, необходимо, чтобы числитель равнялся нулю. В результате получим квадратное уравнение
(6.40)
решением которого будет выражение
.
Постоянная , так как в противном случае стал бы мнимой величиной. С другой стороны перед корнем необходимо оставить только знак минус, так как не может быть больше единицы. В результате получаем единственное решение, из которого при заданном можем определить
. (6.41)
И наоборот, по заданной широте из (6.40) можно найти d
. (6.42)
Найденное из (6.41) единственное значение соответствует минимуму , а следовательно и n.
Коэффициент пропорциональности с найдём из выражения (6.38), полагая, что на параллели касания с широтой .
. (6.43)
Как пример, рассчитаем параметры равновеликой конической проекции для карты Украины в масштабе 1:1000000, приняв широту параллели касания и радиус шара .
Из (6.42) найдём
,
а из (6.43)
Все остальные данные приведены в таблице 6.5.
Сравнивая эту таблицу с таблицей 6.1, можно заключить, что при примерно одинаковом растяжении по параллели равновеликость достигается за счет сжатия по меридиану и за счет увеличения угловых искажений на крайних параллелях.
Чтобы уменьшить искажения, касательный конус можно заменить секущим.
Таблица 6.5
44° | 618,103 | 0,9977 | 1,0023 | 0°15' |
45° | 607,003 | 0,9987 | 1,0013 | 0°09' |
46° | 595,893 | 0,9994 | 1,0006 | 0°04' |
47° | 584,778 | 0,9998 | 1,0002 | 0° |
48° | 573,658 | 1,0000 | 1,0000 | 0° |
49° | 562,539 | 0,9998 | 1,0002 | 0° |
50° | 551,424 | 0,9994 | 1,0006 | 0°04' |
51° | 540,315 | 0,9985 | 1,0015 | 0º10' |
52° | 529,218 | 0,9974 | 1,0027 | 0º18' |
Как известно, в секущёй проекции на параллелях сечения с широтой имеем . Вот почему, на основании (6.4) можем записать
Возведя это выражение в квадрат и подставив значение из (6.36), найдём
откуда
,
но , следовательно
. (6.44)
Введём обозначения
(6.45)
Выполнив в (6.44) преобразования тригонометрических функций с учетом обозначений (6.45), получим окончательно
. (6.46)
Для определения воспользуемся равенством (6.4) и возведём его в квадрат
откуда
.
Но согласно (6.36)
.
Следовательно
.
Подставив в это выражение вместо его значение из (6.46), а вместо - равное ему значение выполним преобразования тригонометрических функций с учетом обозначений (6.45). В результате будем иметь
.
Но, так как для параллели сечения n=1, получим окончательно
. (6.47)
Если задать параллели сечения , то выражения (6.45), (6.46), (6.47), (6.36) и (6.37) полностью определяют параметры равновеликой конической проекции на секущем конусе.
Рассмотрим расчет этой проекции для карты Украины в масштабе 1:1000000.
Широту параллелей сечения определим из выражения (6.20), приняв Т=7. Широта крайних параллелей . Полученные значения округлим до целого градуса.
В результате имеем .
Из выражений (6.45) находим , из (6.46) , а из (6.47) .
Все остальные данные приведены в таблице 6.6.
Таблица 6.6
44° | 618,162 | 0,9990 | 1,0010 | 0°07' |
45° | 607,048 | 1,0000 | 1,0000 | 0° |
46° | 595,924 | 1,0007 | 0,9993 | 0°05' |
47° | 584,793 | 1,0012 | 0,9988 | 0°08' |
48° | 573,659 | 1,0014 | 0,9986 | 0°10' |
49° | 562,525 | 1,0012 | 0,9988 | 0°08' |
50° | 551,393 | 1,0008 | 0,9992 | 0°05' |
51° | 540,269 | 1,0000 | 1,0000 | 0° |
52° | 529,155 | 0,9988 | 1,0012 | 0°08' |
Сравнивая эти данные с таблицей 6.5, можно заключить что искажение расстояний на крайних параллелях уменьшилось почти в 2 раза за счёт увеличения искажений расстояний на средних параллелях. Но в целом не превышает 1,4 м на км.
Искажение углов стало более равномерным и не превышает 10’. При решении многих картометрических задач такие искажения углов можно считать пренебрегаемо малыми.
Чтобы построить равновеликую коническую проекцию для эллипсоида, необходимо общие уравнения проекции (4.8) и (4.9) применить к земному эллипсоиду.
Есть и дугой более простой путь: сначала мысленно изобразить эллипсоид на шаре с сохранением площадей, а затем применить выведенные раннее формулы для шара.
При этом геодезические координаты B и L точек нужно заменить сферическими координатами изображения этих же точек на шаре , поставив условие, чтобы параллели эллипсоида соответствовали параллелям шара, а меридианы эллипсоида изображались меридианами шара, т.е.
. (6.48)
Масштабы m и n найдём, взяв отношения элементов меридиана и параллели шара к соответствующим элементам эллипсоида, которые представлены выражениями (6.2) и (6.4)
(6.49)
Так как направление меридиана и параллели – главные направления эллипса искажений, то условие равновеликости mn=1. Подставив в это условие значение m и n из (6.49), найдём
откуда
Интегрируя, получим
или
, (6.50)
где - часть поверхности эллипсоида, ограниченная экватором, параллелью с широтой и двумя меридианами с разностью долгот в один радиан.
Этот интеграл после подстановки M и N из (2.4), (2.5) может быть приведён к виду
. (6.51)
В формулу (6.50) входят три пока неизвестных параметра , которые можно определить, поставив следующие условия:
1) долготы не должны изменяться, тогда и ;
2) чтобы экватор эллипсоида изображался экватором шара, т.е. при должно быть и ;
3) чтобы полюс эллипсоида изображался полюсом шара, т.е. при было бы , т.е. согласно (6.50)
,
откуда найдём , подставив значение F из (6.51) при в (6.50)
. (6.52)
Для эллипсоида Красовского .
Подставим наёденные значения из (6.51) и из (6.52) в (6.50). В результате получим формулу для вычисления равновеликой широты
. (6.53)
Имея широту , для расчета проекции мы можем воспользоваться выведенными ранее формулами (6.42), (6.36), (6.37) и (6.43).
Таким образом решается задача построения равновеликой конической проекции на эллипсоиде.
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 96;