Общие понятия теории устойчивости сооружений.

Устойчивость сооружений - это специальный раздел строительной механики, посвященный методам расчета сооружений на устойчивость.

Следует различать устойчивость положения сооружения и устойчивость форм равновесия сооружения в деформированном состоянии.

Положение сооружения и форма равновесия считаются устойчивыми, если при всяком сколь угодно малом возможном отклонении от исследуемого равновесия сооружение, будучи представлено самому себе, полностью вернется в исходное положение. Положение сооружения и форма равновесия в упруго-деформирванном состоянии считаются неустойчивыми, если хотя бы при каком-либо сколь угодно малом возможном отклонении от исследуемого равновесия сооружение, будучи предоставлено самому себе, уже не вернется в исходное положение, а в некоторых случаях будет отклоняться еще далее - до нового положения или новой формы равновесия.

Эти определения можно обобщить и на малые, но конечные отклонения, которые в гибких сооружениях встречаются на практике.

Переход сооружения из устойчивого состояния в неустойчивое называют потерей устойчивости. Границу этого перехода называют критическим состоянием сооружения, а соответствующие нагрузки - критическими.

Устойчивость положения сооружения характеризуется тремя формами равновесия. В принципе это можно показать на следующем примере. Шарик, расположенный на дне вогнутой сферы, имеет устойчивую форму равновесия (рис. 57,а), если же его расположить на вершине выпуклой сферы, то форма равновесия шарика будет неустойчивой (рис. 57,б).

Рис. 57 Три формы устойчивости тела (устойчивая, неустойчивая, безразличная)

Далее расположим шарик на горизонтальной плоскости и отклоним его на очень малую величину от исследуемого положения (рис. 57,в). Шарик не вернется в исходное положение, но и не будет двигаться далее. Такое положение называется безразличным.

Аналогичную картину имеем и для упругих систем. Потеря устойчивости формы равновесия в упруго-деформированном состоянии заключается в том, что начальный форма деформации при некоторых значениях действующих нагрузок становится неустойчивой и уступает место другой форме деформации. При потере устойчивости формы упруго-деформированного состояния, в отличие от потери устойчивости положения, нарушаются условия равновесия между внешними и внутренними силами, которые восстанавливаются только при новой форме деформированного состояния упругой системы.

Рис. 58 показаны соответственно устойчивое, неустойчивое и критическое состояния равновесия простейшей упругой системы

На рис. 58,а, 58,б и 58,в показаны соответственно устойчивое, неустойчивое и критическое состояния равновесия простейшей упругой системы, сжимаемой продольной силой и отклоненной на очень малую величину.

При изучении потери устойчивости сооружений, связанной со сменой формы деформированного состояния в строительной механике различают два рода потери устойчивости.

Потерю устойчивости, связанную только со сменой формы деформированного состояния, называют потерей устойчивости первого рода, что свойственно только упругим системам.

Потерей устойчивости второго рода принято называть первое предельное состояние системы по несущей способности системы, т.е. такое состояние системы, когда при дальнейшем увеличении внешних сил равновесие между внешними и внутренними силами нарушается и сооружение разрушается.

Основная задача теории устойчивости заключается в определении критических значений внешних сил. При этом наибольшее практическое значение имеет определение критических значений внешних сил при потере устойчивости системы по первому роду.

При исследовании сооружений на устойчивость приходится иметь дело с продольно-поперечным изгибом стержней Поэтому, далее рассмотрим применение основных принципов и теорем строительной механики при продольно-поперечном изгибе.

Принцип независимости действия поперечных сил при продольно-поперечном изгибе стержня.

В общем случае при продольно-поперечном изгибе стержня процесс развития деформации является нелинейным. Например, на рис. 59 показан случай, когда продольная сила является функцией от поперечной нагрузки и поэтому линейность зависимости деформаций изгиба от поперечной нагрузки нарушается рис. 60.

Рис. 59 Расчетная схема

продольно-поперечного Рис. 60 График зависимости деформации изгиба от нагрузки

изгиба стержня

Однако при продольно-поперечном изгибе стержня можно пользоваться принципом независимости действия сил поперечных нагрузок, но при условии, что изменение последних не влечет за собой изменения продольных сил.

Для доказательства этого рассмотрим стержень, сжатый постоянной продольной силой N и загруженный поперечными силами (рис.61).

Рис. 61Иллюстрация принципа независимости действия сил (принцип суперпозиции)

Момент в любом сечении равен

, (104) ,

Где - балочный момент в стержне от поперечных сил;Y - прогибы стержня.

Дифференциальное уравнение упругой оси изогнутого стержня по теории малых деформаций:

(105)

Подставив выражение (104) в уравнение (105), получим дифференциальное уравнение изгиба сжато-изогнутого стержня с постоянной нормальной силой:

(106)

Пусть для стержня при двух разных поперечных нагрузках, но при одних и тех же граничных условиях и неизменном продольном усилии N известны прогибы и моменты , соответствующие воздействию поперечной силы , а также прогибы и моменты ,соответствующие воздействию поперечной силы (рис. 61,б и 61,в).

Для первого воздействия будет справедливо уравнение:

(107)

Для второго

(108)

При одновременном действии сил :

(109)

и

. (110)

Сложив (107) и (108), получим:

(111)

Из сравнения (110) и (111) находим:

, (112)

что и требовалось доказать.

Этот принцип останется справедливым независимо от того, будет ли сжатый стержень, изгибающийся в плоскости, иметь постоянное или переменное по длине поперечное сечение, будет ли продольное усилие по длине стержня постоянным или переменным, нужно только, чтобы при наложении нагрузочных (может быть и деформационных) воздействий отдельные слагаемые определялись каждый раз при одной и той же, остающейся неизменной эпюре продольных усилий . В этом случае продольные силы как бы условно относятся к заданной системе и не рассматриваются как внешние силы. Итак, для тех случаев, когда продольные силы не меняются, основные принципы и теоремы статики строительной механики применимы и при исследовании устойчивости стержневых систем.