Расчёт на устойчивость статически определимых рамных и балочных систем.
С помощью интеграла Мора можно рассчитывать на устойчивость статически определимые системы. Рассмотрим этот способ применительно к стойке, защемленной одним концом и сжатой силой Р (рис.70,а). Жесткость стержня постоянная на всей длине l.
Рис. 70 Расчетные схемы сжато-изогнутых стержней и эпюры моментов
Пусть отклоненное состояние характеризуется смещением свободного конца по горизонтали на расстояние (рис.70,б). Момент в заделке будет равен (рис.70,в). Выбираем вспомогательное состояние (рис. 70, г) и строим единичную эпюру моментов (рис. 70, д).
Определим по «обобщенной формуле трапеции»:
Из формулы (132), получим формулу
Тогда
Произведя сокращения, получим ν.
Путем подбора по таблице 2 находим ν.
В этом случае .
Следовательно, т.е. получили точное решение.
В данном случае была возможность выразить эпюру моментов M через одно , которое в уравнении (132) сократилось. В общем же случае эпюра моментов М выражается через несколько параметров , … и критическая нагрузка находится из условия равенства нулю определителя системы уравнений, составленных при помощи применения интеграла Мора.
Пример. Рассчитать на устойчивость статически определимую раму, нагруженную силой P так, как показано на рис.71.
Рис. 71 Расчетная схема статически определимой рамы, нагруженной силой Р
Возможный деформированный вид рамы при потере устойчивости показан на рис.72 Выражаем эпюру М через один параметр - горизонтальное смещение узла рамы. На рис. 73 показаны эпюра моментов и соответствующая единичная эпюра моментов , построенная от горизонтальной единичной силы, приложенной к узлу рамы. Определяем Δ по «обобщенной формуле трапеции»
Рис. 72 Возможный деформированный вид рамы при потере устойчивости
Рис. 73 Эпюра моментов и единичная эпюра моментов
Так как и , ,
имеем .
Произведя сокращения, получаем:
По таблице 2 находим, что .
Тогда
Приближенный способ расчета стоек на устойчивость. Применение формулы Верещагина
Для упрощения расчета устойчивости статически определимых систем можно в сжатых элементах рамы или балки приближенно принимать прогибы по синусоидальному закону.
Это допущение позволяет воспользоваться интегралом Мора без применения «обобщенной формулы трапеции» или, следовательно, в более простом виде формулой Верещагина.
Проиллюстрируем этот способ расчета применительно к стойке, защемленной одним концом и сжатой силой P (рис. 74,а). Жесткость стержня постоянная по всей длине l.
Рис. 74 Расчетная схема стойки, защемленной одним концом и сжатая силой Р
Пусть отклоненное состояние характеризуется смещением свободного конца по горизонтали на расстояние . Уравнение изогнутой оси стержня в отклоненном состоянии принимаем приближенно по закону синуса (рис.74,б)
Момент в заделке (рис.74, в) равен
Произвольная ордината эпюры М равна
Площадь эпюры
.
- расстояние от свободного конца стержня до центра тяжести эпюры М составляет
Следовательно, .
Строим соответствующую единичную эпюру от горизонтальной единичной силы (рис.74,г). Ордината, лежащая против центра тяжести эпюры М , равна
Подсчитываем по способу Верещагина
Решение получилось точным, так как принятая упругая ось стержня является для данного случая истинной.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Расчет на устойчивость статически неопределимых рам методом деформаций | | | Статический метод определения критических нагрузок |
Дата добавления: 2017-01-26; просмотров: 1728;