Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа


С каждой точкой z = (х, у) комплексной плоскости связан вектор с концом в этой точке и началом в начале координат. Его называют радиус-вектором этой точки, а его длину r называют модулем комплексного числа z и обозначают |z| (см. рисунок 7.5):

Угол j, образованный радиусом-вектором с осью абсцисс, называют аргументом комплексного числа и и обозначают Arg z
(-p < Arg z ≤ p).

Из рисунка 7.5 видно, что x = r cos j, y = r sin j. Следовательно,

z = r(cos j + i sinj)

Такое представление комплексного числа в виде называют тригонометрической формой комплексного числа.

 

Свойства арифметических операций над комплексными числами:

1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма (рисунок 7.6).

Рисунок 7.6 – Сложение и вычитание комплексных чисел

 

2. Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент - сумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.

если z = z1z2, то |z| = r1r2 = |z1|*|z2|; Arg z = Arg z1 + Arg z2 = j1 + j2;

если z = z1/z2, то |z| = r1/r2 = |z1|/|z2|; Arg z = Arg z1 - Arg z2 = j1 - j2.

 

Геометрически умножение числа z1 на z2 означает изменение длины радиуса-вектора r1 (или r2) в r2 (или r1) раз и его поворот вокруг начала координат против часовой стрелки на угол j2(или j1).

Так как в соответствии с формулами (16.7) и {16.8) при ум-ножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргу-менты складываются, легко получить формулу возведения комплексного числа в натуральную степень п, из-вестную как формула Муаера:

[r(cos ф + /sin ф)Р = rn (cos щ + fsiii /кр). (16.9)

ОПример 16.3. Найти (-1+020

Ре ше ни е. В примере 16.2 мы получили, что -1 + / =

ц*

Зя я"\

= v2| cos— + /sin — I. Поэтому по формуле Муавра (16.9)

(-и/г-

Ы Зя . Зя) V2 cos— + /sin —

I 4 А)

i г-\20Г Г Зя\ ( * Зя"\

= (V2) cod 20-— +/sin 20 —

 

Пусть

^z±:p(cos\|/+isinv|/).

Тогда, используя определение корня и формулу Муавра (16.9), получим

z=[p(cosv|/+/sin\|/)| =p*(cosm|/+/sin/?\j/)

или

г(сов'ф + /вшф) = pw(cosn\|/ + /sinwv|/).

Отсюда следует, что

рл = г и ЛХ|/ ==ф + 2я&, где keZ

, т.е.

и/- ф + 2пк

Итак, р = Щг и \|/ = , к е Z,

f Ф+2яА # . ф+2я&

^г =^г(со8ф+/8Шф) =^Н cos +/sin 1, (16.10)

где к— 0, 1, 2,..., я—1.

При £= л, л+1, ... значения корня уже будут повторяться.

Таким образом, корень п-ой степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет п различных значений.

^Пример 16.4. Найти ^-1 + 1.

Р е шен и е. В примере 16.2 было получено

r = -l+/ = V2 cos—+/8Щ—I. По формуле (16.10)

^=^(cos^^+/si„^M), ^0,1,2,

откуда получаем три значения корня

z1=(^+/)1=^[coe~+/eiiijJ,

 

= 1024(со815я + /sin Ш) = 1024 (-1 + 0/) = -1024. ►

Обратимся к извлечению-корня из комплексного числа.

 

16'

 

z3 =(^/1+7)з =Щсо&—+пт-^.

 

if

 

На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки zb ?2, ?ь расположенные на окружности

радиуса ^2 (рис. 16.3)>>

Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера1.

1Г*=5с<Жф + /sintp. (16.11)

Рис. 16.3

Отсюда следует показательная форма комплексного числа:

z = re»y (16.12)

где г-И, Ф = Argz.

В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в тригонометрической, легко проводить операции умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексных чисел.


[1] Рассмотренный способ приведения квадратичной формы к каноническому виду удобно использовать, когда при квадратах переменных встречаются ненулевые коэффициенты. Если их нет, осуществить преобразование все равно возможно, но приходится использовать некоторые другие приемы. Например, пусть f(х1, х2) = 2x1х2 = x12 + 2x1х2 + х22 - x12 - х22 =

= (x1 + х2)2 - x12 - х22 = (x1 + х2)2 – (x12 - 2x1х2 + х22) - 2x1х2 = (x1 + х2)2
- (x1 - х2)2 - 2x1х2; 4x1х2 = (x1 + х2)2 – (x1 - х2)2; f(х1, х2) = 2x1х2 = (1/2)*
*(x1 + х2)2 – (1/2)*(x1 - х2)2 = f(y1, y2) = (1/2)y12 – (1/2)y22, где y1 = х1 + х2, а
y2 = х1 – х2.

[2] Здесь в слове «комплексное» ударение ставится на втором слоге.



Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1792;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.01 сек.