Эталоны решения типовых задач

Задача №1: В течение 10 минут на диспетчерский пункт может поступить 0 вызовов с вероятностью 0,2; 1 вызов с вероятностью 0,2; 2 вызова с вероятностью 0,4; 3 вызова с вероятностью 0,1; 4 вызова с вероятностью 0,1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа вызовов за 10 минут.

Решение: Для решения удобно составить таблицу:

Число вызовов хi
Вероятность Pi 0,2 0,2 0,4 0,1 0,1
xiPi 0,2 0,8 0,3 0,4 1,7
2,89 0,49 0,09 1,69 5,29 -
0,578 0,098 0,036 0,169 0,529 1,41

 

Задача №2. Амплитуда вызванных биопотенциалов мозга (мкВ) хi появилась с частотой mi:

Амплитуда биопотенциалов (мкВ) (хi)   2,3   4,0   7,4   4,5   6,7   10,0   9,2
mi

 

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность, что величина амплитуды вызванного биопотенциала мозга Dφ≤5 мкВ.

Решение

Для нахождения математического ожидания М дискретного ряда распределения используем формулу:

где хi-значения вариант ряда;

Рi - вероятность (относительная частота появления варианты).

Вероятность Рi - определяем по формуле:

где n-объем выборки, равный

-частота появления i варианты.

Дисперсию Д определяем по формуле:

Среднее квадратическое отклонение σ определяем по формуле:

Заполним таблицу:

хi (мкВ) 2,3 4,0 7,4 4,5 6,7 10,0 9,2  
mi
  0,06   0,17   0,29   0,23   0,11   0,06   0,09 (условие нормировки)
хi Pi 0,14   2,15 1,04 0,74 0,60 0,83
0,91 0,82 0,42 0,66 0,03 0,87 0,81

 

Определяем среднее квадратическое отклонение σ:

=2,13 (мкВ).

Находим вероятность того, что значение биопотенциала мозга Dφ≤5 мкВ, по формуле:

где х=Dφ≤5 мкВ

Функция распределения от отрицательного параметра (-z) определяется выражением:

Таким образом:

Значение Ф(z) определяется по таблице: “Значения нормальной функции распределения” (см. приложения №3).



Ответ: М=6,2 мкВ; Д=4,52(мкВ)2; σ=2,13 мкВ

Р= 0,2877≈29%

Задача №3. Измерения значений естественного фона ионизирующего излучения в импульсах/сек, полученные с помощью пересчетного прибора, дали следующие результаты:

15 19 20 20 21 23 24 16 27 40 30 31 32

35 25 26 30 30 20 28 26 23 18 12 10

Удовлетворяет ли это распределение распределению Гаусса? Построить графики зависимости экспериментальной вероятности попадания значений в каждый из интервалов Рi и теоретической вероятности Ртеор от средних значений интервалов .

Решение: Из полученных результатов составляем вариационный ряд:

10 12 15 16 18 19 20 20 20 21 23 23 24

25 26 26 27 28 30 30 30 31 32 35 40

Все варианты выборки делят в зависимости от числа вариант на нечетное число интервалов, начиная с трех (k=3, 5, 7, 9, 11, …).

Разобъём вариационный ряд на 5 интервалов. Находим шаг интервала :

,

где -максимальное значение варианты в интервале,

-минимальное значение варианты в интервале.

Тогда

Верхние границы каждого из интервалов определяется по формуле:

где i=1, 2, 3, 4, 5, (i-номер интервала)

Нижняя граница каждого последующего интервала определяется значением верхней границы предыдущего.

Вероятность попадания варианты в данный интервал Рi (экспериментальная вероятность) определяется по формуле:

где -число вариант в каждом из интервалов, определяемых по вариационному ряду, исходя из значений нижней и верхней границы интервала.

-обьем выборки, в нашей задаче равный 25.

Среднее значение интервала определяем по формуле:

где -сумма значений вариант в интервале.

Математическое ожидания М определяем по формуле:

,

Дисперсию Д определяется по формуле:

,

Среднее квадратическое отклонение

Учитывая все вышеуказанное, заполняем таблицу №1.

Таблица 1.

№ интервала (имп/сек) (имп/сек) Рi (имп/сек) (имп/сек) (имп/сек)2
0,16 13,25 2,12 18,63
0,24 19,67 4,72 4,58
0,32 25,25 8,08 0,47
0,20 30,60 6,12 8,61
0,08 37,50 3,00 14,49
        М=24,04 Д=46,78

Примечание. Количество вариант первого интервала определяем, исходя из того, что нижней границией является 10 имп/сек, а верхней – 16 имп/сек, т.е. в первый интервал из вариационного ряда вошли варианты:

10; 12; 15; 16 ( ), среднее значение этого интервала:

.

Во второй интервал вошли варианты: 18; 19; 20; 20; 20; 21. Таким образом, m2=6, тогда

и т.д.

Среднее квадратическое отклонение равно:

.

Для определения теоретической вероятности попадания варианты в данный интервал находим значения функции распределения Ф(z2) и Ф(z1), где ( -верхняя граница соответствующего интервала)

( нижная граница соответствующего интервала).

Если значения z отрицательное, то Ф(-z)=1-Ф(z)

Значение теоретической вероятности попадания варианты в интервал Ртеор определяем по формуле:

Ртеор=Ф(z2)-Ф(z1).

Величина функции распределения Ф(z) определяется по таблице (см. приложение №3).

Полученные значения z2, Ф(z2), z1, Ф(z1) и Ртеор=Ф(z2)-Ф(z1) заносим в таблицу №2.

Таблица №2

№ интервала   Ф(z2) Ф(z1) Ртеор=Ф(z2)-Ф(z1)
-1,18 0,1190 -2,05 0,0179 0,10
-0,30 0,3821 -1,18 0,1190 0,26
0,58 0,7190 -0,30 0,3821 0,34
1,46 0,9279 0,58 0,7190 0,21
2,33 0,9893 1,46 0,9279 0,06

Сравнивая величины для каждого из пяти интервалов экспериментальной вероятности Рi (см. таблицу №1) и теоретической вероятности попадания варианты в заданный интервал Ртеор (см. таблицу №2), можно сделать вывод, что их значения очень близки друг к другу, следовательно, полученные значения естественного фона подчиняются распределению Гаусса.

Строим графики зависимости экспериментальных вероятностей Рi и теоретических вероятностей Ртеор от средних значений интервалов

экспериментальная кривая

теоретическая кривая.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ






Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 365;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2017 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.013 сек.