Эталоны решения типовых задач

Задача №1. Построить график функции у=х3-3х.

При построении графиков функций удобно действовать по следующей схеме:

1. найти область определения функции;

2. установить, обладает ли функция симметрий (исследовать функцию на четность);

3. исследовать функцию на непрерывность, периодичность;

4. рассмотреть поведение функции в окрестностях точек разрыва;

5. определить поведение функции в бесконечности;

6. найти точки пересечения графика функции с осями координат, если это возможно ( хотя бы приближенно);

7. найти интервалы возрастания, убывания и точки экстремума функции;

8. определить точки перегиба;

9. определить интервалы выпуклости и вогнутности;

10. составить сводную таблицу и построить график.

В ходе построения графика по мере необходимости можно получить допольнительно ряд значений функции при некоторых частных значениях аргумента х, т.е. еще ряд точек графика. Разумеется, в процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы, иногда даже удобно изменить порядок действий.

Решение.

1. Функция определена при всех

2. На концах интервала lim (x3-3x)=-¥; lim (x3-3x)=+¥,

x® -¥ x®+¥

3. Определим интервалы возрастания и убывания функции. Функция возрастает на интервале, если f ¢(x)>0. В данном случае f ¢(x)=3х2-3>0, если х2>1 или |х|>1. Следовательно, функция у=х2-3х возрастает на интервалах и Функция убывает на интервале, если f ¢(x)<0: 3х2-3<0, откуда х2<1, или -1<х<1. Следовательно, функция у=х3-3х убывает на интервале ]-1, 1[.

 

4. Определим критические точки и исследуем их характер. Из условия (x)=3x2-3=0 найдем критические точки: х1=-1, х2=1. Определим знак первой призводной в окрестностях точек х1=-1, х2=1. Для точки х1=-1 имеем , f ¢(x)=3·02-3<0. Так как знак производной при переходе через критическую точку х=-1 изменился с плюса на минус, то х=-1 это точка максимума. Максимум функции f(-1)=(-1)3-3(-1)=2 (точка А на рис. 4). Для точки х2=1 имеем , . Так как знак производной при переходе через критическую точку изменился с минуса на плюс, то х=1 это точка минимума. Минимум функции (точка В на рис. 4).



5. Определим точку перегиба: . Ордината точки перегиба f(0)=03-3·0=0 (точка О на рис. 4).

6.Определим интервалы выпуклости и вогнутности. Кривая выпукла при условии , откуда х<0. Следовательно, кривая выпукла на интервале . Кривая вогнута при условии , откуда х>0. Следовательно, кривая вогнута на интервале .

7. Найдем точки пересечения кривой с осью Ох.Из системы уравнений находим точки пересечения:

0); О(0; 0), 0).

 

8. Сведем результаты исследования в таблицу:

 

х -1
f(x) -2
-3  
-6  
Характер точки Максимум Перегиб Минимум  

 

 

9. Строим график функции у=х3-3х

М2
х
° В(1; -2)
А(-1; 2) °
°
°
°
М1 °
у

 

Рис 4. График функции у=х3-3х.

Задача 2. Установить, при каком процентом содержании у кислорода в газовой смеси скорость окисления азота будет максимальной, если уравнение кинетики имеет вид =k(100x2-x3),где k-постоянная, х-концентрация окиси азота и х+у=100.

Решение. Найдем производную функции и приравняем ее нулю: =k(200х-3х2)=0, откуда критические точки х1=0, х2=200/3. Исследуем точку х1=0: В точке х1=0 функция имеет минимум. Исследуем точку х2=200/3: Следовательно, х2=200/3 – точка максимума функции , и поэтому у2=100-200/3=33,3. Скорость окисления будет максимальной в том случае, когда в смеси будет содержаться 33,3% кислорода.

Задача 2 . Реакция организма на введенный лекарственный препарат может выражаться в понижении температуры, повышении давления и т.д. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Пусть х обозначает дозу назначенного лекарственного препарата, а степень реакции описывается функцией у=f(x)=x2(a-x), где а-положительная постоянная. При каком значении х реакция максимальна?

Решение. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю: откуда критические точки х1=0, х2=2а/3.

Значение х1=0 указывает на то, что в организм лекарство не вводилось. Исследуем точку х2=2а/3: Следовательно, в точке х2=2а/3 функция имеет максимум. Таким образом, х=2а/3 – это доза, которая вызывает максимальную реакцию.

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ






Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 375;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2017 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.006 сек.