Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

(постановка краевых задач конвективного теплообмена)

Из уравнения (5.2) следует, что плотность теплового потока в любой точке жидкости для каждого момента времени однозначно определяется, если известны поля температур, удельной энтальпии и скорости.

Связь между температурой и энтальпией может быть установлена следующим образом. Для реальной жидкости , и согласно понятию о полном дифференциале

,

отсюда

.

Из дифференциальных уравнений термодинамики и из определения температурного коэффициента объемного расширения следует, что

.

Для многих задач в предположении о несжимаемости жидкости с достаточной степенью точности можно принять , т.е. пользоваться соотношением, справедливым для термодинамически идеального газа:

и .

Приведенные здесь уравнения позволяют установить связь между полем температур и полем энтальпии. Чтобы аналитически найти поля температур (энтальпии) и скоростей и определить , необходимо располагать соответствующими уравнениями.

Уравнение энергии. Выведем дифференциальное уравнение, описывающее температурное поле в движущейся жидкости. При выводе будем полагать, что жидкость однородна и изотропна, ее физические параметры постоянны, энергия деформации мала по сравнению с изменением внутренней энергии.

Выделим в потоке жидкости неподвижный относительно координатной системы элементарный параллелепипед (рис.5.3) с ребрами и . Через грани параллелепипеда теплота переносится теплопроводностью и конвекцией; в общем случае в рассматриваемом объеме может выделяться теплота внутренними источниками за счет энергии, внешней по отношению к рассматриваемой жидкости.

Рис.5.3. К выводу дифференциального уравнения энергии

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты , введеное в элементарный объем извне за время вследствие конвекции и теплопроводности, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмотрения изохорного или изобарного процесса), содержащегося в элементарном объеме:

, (1.22)

где – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем путем конвекции и теплопроводности за время , – количество теплоты, которое за время выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников; – изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме , за время .

Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время в направлении осей , обозначим соответственно .

Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно . Количество теплоты, подведенное к грани в направлении оси за время , составляет , где – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани. Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси , запишем как

.

Разница между количеством теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду, и количеством теплоты отведенного от него за время в направлении оси , представляет собой количество теплоты

,

или

. (а)

Функция является непрерывной в рассматриваемом интервале и может быть разложена в ряд Тейлора:

Если ограничиться двумя первыми членами ряда, то уравнение (а) запишется в виде

. (б)

Аналогичным образом можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему и в направлениях двух других координатных осей и .

Количество теплоты , подведенное в результате теплопроводности к рассматриваемому объему, будет равно:

. (в)

Определим вторую составляющую уравнения (1.22). Обозначим количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема среды в единицу времени и называемое мощностью внутренних источников теплоты, через , Вт/м³, тогда

(г)

Третья составляющая в уравнении (1.22) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы.

При рассмотрении изохорного процесса вся теплота, подведенная к элементарному объему, уйдет на изменения внутренней энергии вещества, заключенного в этом объеме, т.е. .

Если рассматривать внутреннюю энергию единицы объема , тогда найдется как

, (д)

где – изохорная теплоемкость единицы объема, ; – изохорная теплоемкость единицы массы, ; – плотность вещества, кг/м³.

Подставляя полученные выражения (в), (г) и (д) в уравнение (1.22), получаем:

, (1.23)

или

. (1.23’)

Выражение (1.23) является дифференциальным уравнением энергии для изохорного процесса переноса теплоты.

При рассмотрении изобарного процесса вся теплота, подведенная к объему, уйдет на изменение энтальпии вещества, заключенного в этом объеме, и уравнение (1.22) запишется следующим образом:

. (1.24)

Если рассматривать энтальпию единицы объема как , то можно показать, что

, (e)

где – изобарная теплоемкость единицы объема, ; – изобарная теплоемкость единицы массы, .

Если полученные выражения (в), (г) и (е) подставить в уравнение (1.24), получим:

, (1.25)

или

. (1.25’)

где

.

Соотношение (1.25) является дифференциальным уравнением энергии в самом общем виде для изобарного процесса переноса теплоты.

Согласно уравнению (5.2) проекции плотности теплового потока на координатные оси и составляют:

и . (5.8)

Подставляя значения и в уравнение (1.25), можно получить:

.

Для несжимаемых жидкостей [см. уравнение (5.20)]

,

тогда

, (5.9)

или, если ,

. (5.10)

- коэффициент температуропроводности

Последнее уравнение, как и уравнение (5.9), является искомым уравнением энергии, описывающим распределение температур внутри движущейся жидкости.

Многочлен, стоящий в левой части уравнения (5.10), представляет собой полную производную от температуры по времени. Действительно, если , то на основании понятия о полной производной имеем:

,

где

и

имеют смысл составляющих скорости и .

Здесь характеризует изменение температуры во времени в какой-либо точке жидкости, т.е. является локальным изменением ; член

характеризует изменение температуры при переходе от точки к точке, т.е. является конвективным изменением .

Применяя обозначение

,

уравнение энергии можно записать в форме

. (5.10’)

Если , уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности.

При стационарных процессах конвективного теплообмена . Уравнение (5.10) еще более упрощается, если температура изменяется только по одной или двум координатам. В случае стационарного одномерного температурного поля все производные по и равны нулю.

Как следует из уравнения (5.10), температурное поле в движущейся жидкости зависит от составляющих скорости и . Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали изменение скорости во времени и пространстве. Такими уравнениями являются дифференциальные уравнения движения.

Уравнения движения. Вывод дифференциального уравнения движения вязкой жидкости требует громоздких математических выкладок. В связи с этим будет дан упрощенный вывод для случая одномерного течения несжимаемой жидкости. Этот вывод не является строгим, его основное достоинство заключается в наглядности. Для трехмерного движения уравнение будет приведено без вывода.

Выделим в потоке вязкой жидкости элементарный объем с размерами ребер и (рис.5.4). Скорость в потоке изменяется только в направлении оси , закон изменения скорости произволен.

Рис.5.4. К выводу дифференциального уравнения

движения жидкости

Вывод уравнения движения основан на втором законе Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение.

Силы, действующие на рассматриваемый элемент жидкости, можно разделить на массовые (или объемные) и поверхностные. Массовые силы характеризуются вектором , значение которого равно отношению силы, действующей на данную частицу, к массе этой частицы. Если учитывается только сила тяжести, то , где – ускорение свободного падения. Мы в дальнейшем будем учитывать только силу тяжести. Значение поверхностных сил равно отношению силы, действующей на элемент поверхности, к величине площади этого элемента. К поверхностным силам относятся силы трения и силы давления.

Таким образом, на рассматриваемый элемент жидкости действуют три силы: сила тяжести, равнодействующая сил давления и равнодействующая сил трения.

Найдем проекции этих сил на ось .

Сила тяжести приложена в центре тяжести элемента. Ее проекция на ось равна произведению проекции ускорения свободного падения на массу элемента:

.

Равнодействующая сила давления определяется следующим образом. Если на верхней грани элемента давление жидкости равно , то на площадку действует сила .

На нижней грани давление с точностью до второго члена разложения в ряд Тейлора равно , и на эту грань действует сила - . Здесь знак минус указывает на то, что сила действует против направления движения жидкости. Равнодействующая сил давления равна их алгебраической сумме:

.

Равнодействующая сил трения определяется из следующих соображений. Так как скорость изменяется только в направлении оси , то сила трения возникает на боковых гранях элемента жидкости (см. рис.5.4). Около левой грани скорость движения частиц жидкости меньше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении сила трения направлена против движения и равна . Около правой грани, наоборот, скорость движения частиц жидкости больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении сила трения направлена в сторону движения. Равнодействующая этих сил равна алгебраической сумме:

.

Подставляя , получаем:

.

Суммируя и , получаем проекцию на ось равнодействующей всех сил, приложенных к объему:

. (а)

Согласно второму закону механики эта равнодействующая равна произведению массы элемента на его ускорение и учитывает силы инерции:

. (б)

Приравнивая правые части уравнений (а) и (б) и производя сокращения, окончательно получаем уравнение движения вдоль оси :

.

Описание движения жидкости усложняется, если скорость изменяется по трем направлениям. В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами скоростное поле описывается тремя уравнениями движения, каждое соответственно в проекциях сил на оси и :

для оси

;. (5.11)

для оси

;. (5.12)

для оси

;. (5.13)

Уравнения (5.11) – (5.13) называют уравнениями Навье-Стокса. Все слагаемые уравнений (5.11) – (5.13) имеют размерность силы, отнесенной к единице объема.

В общем случае составляющие скорости , и изменяются во времени и в пространстве. Член, стоящий в левой части уравнений (5.11) – (5.13), представляет собой полную производную от скорости по времени.

На основании понятия о полной производной имеем:

;. (5.14)

Аналогично и для других осей:

;. (5.15)

. (5.16)

Производные и характеризуют изменение скорости во времени в какой-либо точке жидкости, т.е. характеризуют локальное изменение скорости; остальные три члена, стоящих в правых частях уравнений, характеризуют изменение скорости при переходе от точки к точке. Используя векторную форму записи, уравнения (5.11) – (5.13) можно написать в виде.

. (5.17)

Уравнение движения (5.17) получено без учета зависимости физических параметров жидкости от температуры. В частности, не учтена зависимость плотности от температуры. В то же время свободное движение жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых частиц жидкости.

Ограничимся приближенным учетом переменности плотности[1]. Используем для этого температурный коэффициент объемного расширения . Будем полагать, что в заданном интервале температур является постоянной величиной, не зависящей от температуры. Это условие лучше выполняется для газов и хуже для капельных жидкостей.

Из определения температурного коэффициента объемного расширения , следует, что при будет:

,

где и – плотности, соответствующие температурам и ; ; –некоторая фиксированная температура (точка отсчета).

Из последнего соотношения следует, что

.

Подставляя значение плотности согласно последнему уравнению в член уравнения движения (5.17), учитывающий массовые силы, получаем:

.

Рассмотрим член . Его можно трактовать как сумму силы тяжести , взятой при определенной плотности, и подъемной (архимедовой) силы . Член можно представить как градиент гидростатического давления в покоящейся жидкости с плотностью . Тогда вместо - можно написать , где . При замене на уравнение движения будет учитывать и член .

Отпуская индекс при и индекс 1 при , получаем после деления левой и правой части на следующее уравнение движения:

. (5.18)

Так как в уравнение движения помимо входит еще неизвестная величина , то система уравнений не является замкнутой. Необходимо добавить еще одно уравнение. Таким уравнением является дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности).

Уравнение сплошности.Выделим в потоке движущейся жидкости неподвижный элементарный параллелепипед со сторонами и и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него в направлении осей и за время (рис.5.5).

Рис.5.5. К выводу дифференциального уравнения сплошности

В направлении оси в параллелепипед втекает масса жидкости

, (a)

где представляет собой количество массы, протекающей в единицу времени через единицу поперечного сечения. Из противоположной грани вытекает масса

.

Ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд, получаем, что масса , вытекающая из элементарного параллелепипеда в направлении оси , равна:

. (б)

Вычитая (а) из (б), получаем излишек массы жидкости, вытекающей из элементарного объема в направлении оси :

. (в)

Аналогичным образом для направлений по осям и имеем:

; (г)

. (д)

Суммируя равенства (в), (г) и (д), получаем полный избыток массы жидкости, вытекающей из рассматриваемого элементарного объема в направлении всех трех осей. Этот избыток обусловливается изменением плотности жидкости в объеме и равен изменению массы данного объема во времени . Произведя сокращение на и и перенеся все члены в левую часть равенства, окончательно получим дифференциальное уравнение сплошности или непрерывности для сжимаемых жидкостей:

. (5.19)

Для несжимаемых жидкостей, полагая , получаем:

(5.20)

или, что то же самое,

. (5.20’)

Уравнение сплошности является уравнением сохранения массы.

Таким образом, процесс конвективного теплообмена в несжимаемой однородной среде с постоянными физическими параметрами описывается системой дифференциальных уравнений (5.2), (5.10), (5.18) и (5.20).

Особенности записи дифференциальных уравнений для турбулентных потоков с использованием осредненных значений переменных будут указаны в §5.4.

Условия однозначности. Полученные дифференциальные уравнения конвективного теплообмена описывают бесчисленное множество конкретных процессов. Чтобы выделить рассматриваемый процесс и определить его однозначно, к системе дифференциальных уравнений нужно присоединить условия однозначности. Условия однозначности дают математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого явления; они состоят из:

1) геометрических условий, характеризующих форму и размеры тела или системы, в которой протекает процесс;

2) физических условий, характеризующих физические свойства среды;

3) временных или начальных условий, характеризующих особенности процесса в начальный момент времени; для стационарных задач эти условия отпадают;

4) граничных условий, характеризующих особенности протекания процесса на границах жидкой среды.

В последних должны быть заданы граничные значения зависимых (искомых) переменных или их производных. Например, для любого момента времени задаются распределение температур или тепловых потоков по поверхности тела [в простейшем случае или ], распределение температур и скоростей жидкости на входе в канал или на большом удалении от рассматриваемой поверхности теплообмена, значения скорости на стенке и т.д. Очевидно, в зависимости от вида задания граничных и других условий результаты решения (интегрирования), представляемые в виде формул или числовых значений, могут быть различны.

Система дифференциальных уравнений в совокупности с условиями однозначности представляет собой математическую формулировку краевой задачи.

Задание распределений и , где – координаты поверхности тела, часто затруднительно, так как и в общем случае зависят от процессов теплообмена в стенке и по другую ее сторону. Строго говоря, в этом случае тепловые граничные условия нельзя назначить заранее, так как они являются сложной функцией совокупности всех отдельных процессов теплообмена. Необходимо к системе дифференциальных уравнений рассматриваемого процесса конвективного теплообмена присоединить дифференциальные уравнения, описывающие процесс теплопроводности в стенке и процесс конвективного теплообмена по другую ее сторону, и задать условия сопряжения.

Для непрерывных полей условия сопряжения могут быть заданы в виде равенства температур на поверхности соприкосновения сред, а в случае отсутствия на непроницаемой границе раздела тепловыделения за счет внутренних источников – в виде равенства тепловых потоков, описываемых законом Фурье.

Для сопряженной задачи дифференциальные уравнения, условия однозначности, описывающие процессы теплообмена в смежных средах, и условия сопряжения можно трактовать как граничные условия. Конечно, в этом случае граничные условия будут очень сложны. Решения задач конвективного теплообмена большей частью получают с помощью наперед заданных граничных условий.

Физический анализ процессов конвективного теплообмена показывает, что в ряде случаев математическая формулировка задачи может быть упрощена без внесения существенных погрешностей. Например, математическая формулировка может быть упрощена при использовании понятия пограничного слоя, рассматриваемого в следующем параграфе. Вследствие сложности процессов конвективного теплообмена при его изучении особенно широко используются методы экспериментального исследования. В результате эксперимента получают синтезированные сведения о процессе, влияние отдельных факторов не всегда легко выделить. Эти трудности помогает преодолевать теория подобия, рассмотренная ранее. Основой теории подобия является математическая формулировка краевой задачи.

В ряде случаев для исследования процесса конвективного теплообмена используется его аналогия с процессами другой физической природы. Аналогия устанавливается на основе математического описания этих процессов.

Внедрение электронной вычислительной техники привело к более широкому использованию численных методов расчета. Многие задачи, не поддающиеся точному решению, могут быть рассчитаны с помощью ЭВМ. И в этом случае исходной для расчета является математическая формулировка задачи в виде дифференциальных уравнений и условий однозначности.

[1] В общем случае при необходимо учитывать и энергию деформации