Свойства сходящихся последовательностей.

1. Единственность.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2. Арифметические действия.

Теорема: Если последовательности {x_n} и {y_n} сходящиеся, причем и , тогда ; ; при условии .

3. Необходимое условие сходимости.

Теорема Больцано-Вейерштрасса:

Сходящаяся последовательность ограничена.

Док-во:

Пусть последовательность {х_n} сходится Þ существует конечный предел Þ по определению: для "e > 0 $ номер N, начиная с которого .

Из неравенства: .

Выберем С=max { }.

Значит, для членов последовательности {x_n} выполняется неравенство . Тогда по определению последовательность {x_n} ограничена.

Ч.т.д.

4. Достаточные условия существования предела.

Определение: Последовательность {x_n} называется возрастающей (неубывающей), если x₁<x₂<… (x₁£x₂£…).

Пример: 1<2<3<4<…, {x_n} – возрастает.

1£1<2£2<3£3…, {x_n} - неубывающая.

Определение: Последовательность {x_n} называется убывающей (невозрастающей), если x₁>x₂>… (x₁³x₂³…).

Пример: 1>1/2>1/4>…, {x_n} – убывающая.

1³1/2³1/2>1/3³1/3>…, {x_n} - невозрастает.

Теорема1: Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.

Теорема2: Если последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, то она имеет конечный предел.

Док-во:

Докажем теорему 1.

{x_n} возрастет Þ x₁<x₂<….

{x_n} ограничена сверху Þ существует число М такое, что при "n x_n М. Отступим от М на e, тогда существует номер N, начиная с которого

М-e< x_n М.

x_n

М

М-e

0 1 2 3 4 n

Усилим правую часть неравенства:

М-e< x_n<М+e, т.е. .

Значит, для "e > 0 $ номер N, начиная с которого справедливо

. Þ . Þ по определению: {x_n} сходится.

Теорема 2 доказывается аналогично.

Ч.т.д.

Предел функции.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть самой точки.

1) Определение предела функции на языке :

Число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для любого сколь угодно малого положительного числа e найдется число d(e)>0 такое, что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству |x-a|<d, следует неравенство |f(x)-A|<e.

Þ "e>0 $d>0: из |x-a|<d Þ |f(x)-А|<e.

y

A

х

Интервал (a-d, a+d) на оси ОХ называется дельта-окрестностью точки a.

Интервал (A-e, A+e) на оси ОY называется эпсилон-окрестностью точки A.

Функция y=f(x) переводит каждую точку из d-окрестности точки a на оси ОХ внутрь ε-окресности точки А на оси ОY.

2) Определение предела на языке окрестности:

Число A называется пределом функции при x®a, если для любой сколь угодно малой e-окрестности точки A на оси ОY найдется d-окрестность точки a на оси ОХ, которую функция переводит в e-окрестность.

3) Определение предела на языке последовательности:

Число A называется пределом функции f(x) при x®a, если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к точке a, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)} сходится к A.

4) Правый и левый пределы.

Определение: Если есть x_n®a и x_n<a, то число A называется левым пределом функции при x®a-0.

.

Определение: Если x_n®a и x_n>a, то число A называют правым пределом функции при x®a+0.

.

Такие пределы называются односторонние.

Замечание 1: Для существования предела функции не требуется, чтобы функция была определена в самой точке x=a, достаточно того, что она определена в ее окрестности.

Замечание 2: На последовательность {x_n} можно смотреть как на функцию натурального аргумента x_n=f(n), nÎN. Поэтому все свойства пределов и теоремы для пределов функции справедливы и для предела последовательности.