Элементы линейной алгебры

Линейная алгебра – это часть алгебры, изучающие векторные (линейные) пространства и их подпространства, линейные отображения (операторы), линейные, билинейные, и квадратичные функции (функционалы или формы) на векторных пространствах.

Исторически первым разделом линейной алгебры был раздел, в котором изучаются линейные уравнения, т. е. уравнения, содержащие неизвестные только в первой степени, и не содержащие слагаемых с произведением неизвестных.

1. 1.Числовые матрицы

Прямоугольная таблица чисел (1.1) называется матрицей размерности m x n. Горизонтальные m рядов называется строками (сокращенно: стр.), вертикальные n рядов – столбцами (сокращенно: стб.). Числа aij называются элементами матрицы, индексы i и j означают соответственно номер строки и столбца, т. е. «адрес» элемента.

Например, а23 элемент находящийся во второй строке, третьем столбце (читается а два три)

Обозначения: Латинские заглавные буквы А,В,С… или

или , или Amxn

 

1.2 Разновидности матриц

1. Прямоугольная матрица, m≠n

2. Квадратная матрица m=n. Матрицу размерности nxn называют матрицей n-ого порядка. Например, . Диагональ соединяющая элементы a11 и ann называется главной , элементы a1n и an1 - побочной.

3. Матрица – строка. m=1: А=(a11 a12 … a1n)

4. Матрица – столбец. n=1:

5. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположеные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю.

Например, или

6. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, кроме элементов главной диагонали равны нулю.

7. Единичная матрица – диагональная матрица, все элементы которой равны 1. Обозначение: , - символ Кронекера (Леопольд Кронекер (1823-1891) – немецкий математик)

8. Скалярная матрица – диагональная матрица, все элементы которой равны между собой.

 

1.3 Определители 2-го и 3-го порядка

Определение: Число a11 a22 – a21 a12 , обозначаемое символом называется определителем 2-го порядка, соответствующем матрице , т.е. для (1.2.)

det – от латинского determinare – определять.



Обозначения: detA,∆ (дельта), .

Определение: Число соответствующее матрице называется определителем третьего порядка.

Заметим, что слагаемые в выражении (1.3) представляют произведения элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и столбца. Каждому произведению приписывается свой знак.

+ Для удобства запоминания используют правило треугольников: «+» произведения со своим знаком «-» с противоположным знаком.

Для вычисления можно применить и правило Саррюса (Саррюс Пьер Фредерик (1798-1861) – французский математик).

- - - + + +

«+» - произведения рядов, параллельной главной диагонали, входят в сумму со своим знаком, параллельных побочной диагонали – с обратным «-».

Пример.

Пример.

 

 

1.4 Миноры и алгебраические дополнения

Дана матрица Amxn . Выберем произвольно k сток и k столбцов, причем каждая строка и каждый столбец могут быть выбраны только один раз.

1≤k≤min(m,n), где min(m,n) – меньшее из чисел m и n.

Элементы, оказавшиеся на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу. Определитель этой матрицы называется минором.

Например, Матрица размерности mxn имеет миноров k-го порядка, где Cmk и Cnk, - число сочетаний.

Для квадратной матрицы кроме понятия минора М, вводится понятие дополнительного к нему минора М’.

М’- определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания стр. и стб.. Миноры квадратной матрицы называются минорами ее определителя. Каждый элемент aij матицы n-го порядка можно рассматривать как минор 1-го порядка.

Определение: Минором Mij элемента aij определителя n-го порядка называется определитель n-1 порядка, полученный вычеркиванием из данного i-ой стоки и j-го столбца.

Определение: Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя называется число (-1)i+jMij, т.е. Aij=(-1)i+jMij.

Пример:

 

1.5 Определители n-го порядка

Определение: Определителем порядка n, соответствующем матрице А n-го порядка, называется число и обозначается одним из символов Итак, по определению

Теорема 1: Разложение по k-ой строке (без доказательства).

Каков бы ни был номер строки k, определителя n-го порядка, справедлива формула

Теорема 2: Разложение по -тому столбцу (без доказательства).

Каков бы ни был номер столбца справедлива формула (1.6)

Пример. Вычислить определитель разложением по первому столбцу:

Вычислить определитель разложением по второй строке:

 

1.6 Свойство определителя

1. Свойство равноправности (инвариантности) стр. и стб..

Транспонированием матрицы или определителя называется операция замены строк столбцами.

При транспонировании величина определителя не изменится:

2. Свойство антисимметрии.

При перестановке местами двух параллельных рядов, т.е. двух строк или двух столбцов, определитель сохраняет абсолютную величину, но меняет знак.

3. Умножение всех элементов любого ряда на число λ≠0 равносильно умножению на λ определителя.

Следствие 1. Общий множитель ряда можно выносить за знак определителя.

Следствие 2. Если элементы некоторого ряда равны нулю, то . (Рассмотреть для определителя третьего порядка самостоятельно).

Следствие 3. Если элементы двух параллельных рядов пропорциональны, то определитель равен нулю.

Следствие 4. Если два параллельных ряда одинаковы, то определитель равен нулю.

4. Если каждый элемент ряда есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: в одном из которых записаны первые слагаемые, в другом – вторые. Прочие ряды остаются без изменения.

Пример:

5. Свойство линейности.

Если к элементам любого ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на число λ≠0, то величина определителя не изменится.

Следствие: Если какой-либо ряд является линейной комбинацией других параллельных рядов, то определитель равен нулю.

Пример. т.к.

Пр. из пункта 1.3

или

по теореме Лапласа .

Пример,

 

1.7 Теоремы замещения и аннулирования

Теорема 3 (замещения): Сумма произведения алгебраических дополнений элементов некоторого ряда на любые числа q1,q2,…,qn, отличные от нуля, равна определителю, который получился из данного заменой упомянутого ряда рядом чисел q1,q2,…,qn.

Доказательство: Дан , разложение по первой строке где Qi алгебраическое дополнение элементов (в нашем случае n=3). Но

Теорема 4 (аннулирования): Сумма произведений элементов какого – либо ряда на алгебраическое дополнение соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Доказать самостоятльно.

Пример,

 

1.8 Приведение определителя к треугольному виду.

Определение: Определитель называется треугольным, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Если вычислить по правилу треугольника, то , т.е. определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Случай побочной диагонали путем изменения порядка рядов и обратный сводится к случаю главной диагонали.

Убедиться самостоятельно:

При приведении определителя к треугольному виду используют свойство линейности. Предварительно удобно на месте элемента а11 получить 1, либо перестановкой рядов, либо делением строки на а11.

 

1.9 Алгебра матриц.

1) Равенство матриц. Матрицы и (одинаковой размерности) равны, если равны их соответствующие элементы:

2) Сумма матриц. и есть матрица

Итак, складывают только матрицы одинаковой размерности, каждый элемент матрицы С есть сумма соответствующих элементов матриц А и В

Обозначение: С=А+В

3) Умножение матрицы на число

Пример. Дано: ,

Найти матрицу С=3А-В

Решение:

4) Умножение матриц. Перемножать можно только матрицы соответствующих размерностей: длина строки первой матрицы должна быть равна высоте столбца второй матрицы, т.е. размерности mxk и kxn.

Полученная матрица будет иметь размерность mxn.

Итак, если перемножать матрицы на , получим (элементы i-ой строки первой матрицы умножают на соответствующие элементы столбца 2-ой и складывают произведения)

Пример,

cij получается умножением i-ой строки первой матрицы на j-ый столбец второй.

Произведение

Если имеет смысл АВ, ВА может и не существовать.

Если и , то обычно , т.е. произведение матриц не комутированно в общем случае.

Определение: Матрицы называются коммутативными (коммутирующими, перестановочными), если

Теорема: Для того чтобы квадратная матрица А порядка n была перестановочна со всеми матрицами того же порядка, необходимо и достаточно, чтобы она была скалярной. (стр. 152, Воднев В.Т. и др. Математический словарь высшей школы. Мн.: Выш. Шк., 1984-527с.)

5) Возведение в степень.

6) Транспонирование матриц.

Свойства:

 

7) Противоположный (не обратной!) к матрице А является матрица (-1)А=-А

8) Умножение на единичную матрицу. АЕ=ЕА=А

 

 

1.10 Основные свойства операций над матрицами

Пр. Вычислить значение матричного многочлена P(A), если

Самостоятельно вычислить значение матричного многочлена Р(А), если

Проверим:

 

 

1.11. Обратная матрица

Определение: Квадратная матрица В называется невырожденной, если

Определение: Матрица В-1 называется обратной к союзной В, если ВВ-1 и В-1В=Е.

Определение: Матрица называется присоединенной к В, если состоит из алгебраических дополнений матрицы В и транспонирована:

Теорема: Для существования обратной матрицы В-1 к матрице В необходимо и достаточно, чтобы она была: квадратной, невырожденной, тогда (1.7)

Вырожденная матрица обратной не имеет.

Пример: Найти обратную матрицу

Решение.

т.е. нашли алгебраическое дополнение и записали их в первый столбец.

Найдем алгебраическое дополнение второй строки и запишем во второй столбец

Найдем алгебраическое дополнение третьей строки и запишем в третий столбец.

Проверка:

Обратная матрица В-1 найдена верно.

Пример.

Получить обратную матрицу с помощью элементарных преобразований из матрицы А. (Обычно применяется, если n>3.)

Дано: . Найти А-1.

Решение. По определению АА-1. Преобразование будем вести так, чтобы на месте матрицы А получить единую: ЕА-1=В, А-1, т.е. матрица В будет обратной к матрице А. Преобразования произведим одновременно в левой и провой части равенства.

Делим вторую, третью и четвертые строки на 2, 3 и 4 соответственно.

Последнюю строку вычитаем из третьей, второй, первой.

Третью строку вычитаем из второй и первой.

Для умножения матрицы на число умножаем каждый элемент на число.

Проверка: АА-1 или А-1А=Е

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

 

1.12. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными.

(1.8) Эту же систему запишем в виде матричного уравнения АХ=В, где

Матрица системы матрица неизвестных матрица - стб. свободных членов

Пусть , тогда

Умножим обе части уравнения АХ=В слева на и используем свойство 7 из параграфа (1.10) т.к. по определению , то Это решение системы ассоциативность в матричной форме.

Пример: Решить систему

Решение.

Матрица системы .

Для существования обратной матрицы, для матрицы А необходимо и достаточно, чтобы

Итак,

 

1.13. Вывод формул Крамера (решения системы n линейных уравнений с n неизвестными)

Запишем решение системы (1.8), при в виде

По определению равенства матриц и теоремы 3 (замещения)

В общем виде Формула Крамера (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

- определитель системы, получен из определителя системы заменой столбца коэффициентов при неизвестном столбцом свободных членов.

Если решение системы единственное.

Если а хотя бы один из , то система несовместима.

Если и все система имеет множество решений. Для нахождения этих решений используем метод Гауса, который будет ??? дальше.

Пример. Решить двумя способами:

1 способ:

2 способ:

Найдем алгебраическое дополнение запишем эти дополнения в первой столбец.

Найдем алгебраическое дополнение второй строки:

Записываем эти алгебраические дополнения во второй столбец. тогда

По определению

По определению равенства матриц , получим

1.14. Решение систем из двух уравнений с тремя неизвестными

(1.9)

Пусть

Пусть

Обозначим , тогда

Система (1.9) имеет множество решений:

Правило для запоминания: рисуем «вертушку»

x

z y

Ищем х – коэффициентов в определителе при у и при z;

Ищем у, коэффициент при z и при x.

Пример. Решить систему:

Решение:

или

 

 

1.15. Элементарные преобразование матриц

1. Умножение некоторого ряда на число

2. Прибавление к одному ряду матрицы другого, параллельного ему ряда, умноженного на .

3. Перестановка местами параллельных рядов матрицы.

4. Вычеркивание рядов, состоящих из нулей. с помощью элементарных преобразований можно привести к треугольно ступенчатому виду:

или к виду

О Матрицы полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными. Обозначение: A~A1.

Пример. Сколько миноров четвертого порядка, отличных от нуля, имеет матрица А?

Всего миноров четвертого использовать правило

Большой объем вычислений, к тому же все они будут равны нулю, что становится ясно после элементарных преобразований.

Замечание. С помощью элементарных преобразований можно найти обратную матрицу.

Пример (к пункту 1.15)

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Пример был рассмотрен в пункте 1.11 где В-1 найдена по определению ВВ-1

Начало обратного хода:

, вычитаем вторую строку из первой.

, получим нули ниже элемента а11: первую сторону, умноженную на 2 и на 5, вычисляем, соответственно из второй и третьей строки.

Закончен прямой ход, т.е. получим нули ниже главной диагонали.

Обратный ход: получим нули выше главной диагонали:

Последнюю строку вычтем из второй:

Вторую строку вычтем из первой:

Если применить вычисление А-1 по определению:

Вывод: для матриц порядка выше n=3 удобнее искать обратную с помощью элементарных преобразований по определителю.

 

1.16 Ранг матрицы

Матрица имеет штук миноров k-го порядка (см. пункт 1.4.)

Определение: Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.

Обозначение:

Вычисление ранга, основанное на вычислении всех миноров k-го порядка трудоемко. Используют приведение матрицы к треугольно ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

Пример. Определить ранг матрицы

Один из миноров

Если есть хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то

 

 

1.17. Линейная зависимость и независимость функций

Определение 1: Функции называется линейно зависимыми, если такие числа не равные одновременно нулю, что

Определение 2: Если равенство справедливо тогда и только тогда, когда все одновременно равны нулю, то функции линейно не зависимы.

Понятие линейно зависимости и независимости применяется так же к системам постоянных векторов, системам строк и столбцов матриц и определителей и т.д. (Гурский, стр.14).

Теорема 1: Если функции линейно зависимы, то хотя бы одна из них выражается через другие; если функции линейно независимы, то ни одна из них не может быть выражена линейно чрез другие.

Теорема 2 (три достаточных условиях линейной зависимости)

1) Если среди функций есть одна постоянная, равна нулю, то функции линейно зависимы (по определению 1).

2) Если часть из системы функций линейно зависимы, то вся система функций линейно зависима.

3) Если каждая из функций может быть выражена линейно через функции число которых меньше, т.е. , то линейно зависимы.

Следствие: Любые функции, входящие в линейно независимую систему, линейно независимы.

В системе часть функций образуют базис системы, если :

1) Функции линейно независимы;

2) Каждая из функций может быть выражена линейно через функции .

 

 

1.18. Понятие линейной зависимости строк (Ильин Познак)

Определение: Строки

Назовем линейно зависимыми, если найдутся такие числа , не все одновременно равны нулю, т.е. , что справедливо равенство

Например,

Аналогичные понятия для матриц – стб. И строк расширенной матрицы.

 

 

1.18. Теорема о базисном миноре

Определение: Базисным называется минор порядка ранга матрицы (порядка r) не равный нулю. Его строки (столбцы) называются базисными.

Теорема: Если ранг матрицы А равен r, то

1. линейно независимых строк (стб.), называемых базисными;

2. Любая стр. (стб.) этой матрицы выражается в виде линейной комбинации базисных строк (стб.).

Доказательство (Ильин Познак, стр. 41)

 

 

1.19. Теорема Кронекера – Капелли

Теорема: Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и остаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство: Необходимость.

Имеем линейную систему из m уравнений с n неизвестными.

(1.10)

Обозначим стб. Коэффициентов при неизвестных

Предположим, что система (1.10), которую запишем в виде

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Эйлеровы цепи, циклы, котнуры. | Сотрясение головного мозга (Соmotio cerebri). Этиология и патогенез сотрясения головного мозга.


Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 262;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2017 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.057 сек.