Распределение выборочной дисперсии

Можно показать, что выборочная дисперсия S²является смещенной оценкой. Какому бы закону ни подчинялась случайная величина x, порождающая выборку, всегда .

Чтобы получить несмещенную оценку s²(такую, что М(s²)=Dx), достаточно ввести небольшую поправку - оценка несмещенная:

(3.10)

при отсутствии повторов в выборке и

(3.11)

для выборки, заданной таблицей (при наличии повторов или применении группировки данных).

“Смещение” оценки произошло из-за того, что отклонение выборочных значений отсчитывается не от математического ожидания теоретического распределения вероятностей, которое неизвестно, а от его эмпирического аналога. Это обстоятельство оказывает некоторое влияние и на распределение вероятностей S².

Если бы мы знали значение математического ожидания m теоретического распределения величины x, из которого произведена выборка, и возводили в квадрат отклонение от него, то эмпирическая дисперсия, являясь суммой квадратов независимых нормальных величин, была бы пропорциональна с множителем величине, имеющей распределение . В силу замены m на его эмпирический аналог , с помощью замены переменных число слагаемых в сумме можно уменьшить на 1, и, следовательно, число степеней свободы у распределения будет (n-1). То есть

. (3.12)

Этим распределением вероятностей можно пользоваться для построения доверительного интервала для неизвестной дисперсии распределения.

Проиллюстрируем метод получения интервальных оценок.