Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ УЧЕНИЯ О КОНВЕКТИВНОМ ТЕПЛООБМЕНЕ

Основные понятия и определения

Понятие конвективного теплообмена охватывает процесс теплообмена при движении жидкости или газа. При этом перенос теплоты осуществляется одновременно конвекцией и теплопроводностью. Под конвекцией теплоты понимают перенос теплоты при перемещении макрочастиц жидкости или газа в пространстве из области с одной температурой в область с другой температурой. Конвекция возможна только в текучей среде, в которой перенос теплоты неразрывно связан с переносом самой среды.

Если в единицу времени через единицу контрольной поверхности нормально к ней проходит масса жидкости , где – скорость, – плотность жидкости, то вместе с ней переносится плотность теплового потока

. (5.1)

Конвекция теплоты всегда сопровождается теплопроводностью, так как при движении жидкости или газа неизбежно происходит соприкосновение отдельных частиц, имеющих различные температуры. В результате конвективный теплообмен описывают уравнением

. (5.2)

Здесь является локальным (местным) значением плотности теплового потока за счет конвективного теплообмена. Первый член правой части уравнения (5.2) описывает перенос теплоты теплопроводностью, второй – конвекцией.

Конвективный теплообмен между потоками жидкости или газа и поверхностью соприкасающегося с ним тела называется конвективной теплоотдачей или просто теплоотдачей. Очень часто в инженерных расчетах определяют теплоотдачу, при этом знание конвективного теплообмена внутри жидкой среды может представить косвенный интерес, поскольку перенос теплоты внутри жидкости отражается и на теплоотдаче.

При расчетах теплоотдачи используют закон Ньютона-Рихмана:

. (5.3)

Согласно закону Ньютона-Рихмана тепловой поток , Вт, от жидкости к элементу поверхности соприкасающегося тела площадью (или от к жидкости) прямо пропорционален и разности температур , где – температура поверхности тела, – температура окружающей жидкой или газообразной среды. Разность температур называют температурным напором.

Коэффициент пропорциональности , входящий в уравнение (5.3), называется коэффициентом теплоотдачи. Он зависит от конкретных условий процесса теплоотдачи, влияющих на его интенсивность.

Согласно уравнению (5.3)

. (5.4)

Это тождество следует рассматривать как определение коэффициента теплоотдачи, который измеряется в .

Таким образом, коэффициент теплоотдачи есть плотность теплового потока на границе жидкости (газа) и соприкасающегося тела, отнесенная к разности температур поверхности этого тела и окружающей среды.

В общем случае коэффициент теплоотдачи переменен по поверхности . Если и не изменяются по , то закон Ньютона-Рихмана может быть записан следующим образом:

.

Коэффициент теплоотдачи зависит от большого количества факторов. В общем случае является функцией формы и размеров тела, режима движения, скорости и температуры жидкости, физических параметров жидкости и других величин. По-разному протекает процесс теплоотдачи в зависимости от природы возникновения движения жидкости.

Чтобы привести жидкость в движение, к ней необходимо приложить силу. Силы, действующие на какой-либо элемент жидкости, можно разделить на массовые (или объемные) и поверхностные. Массовыми называют силы, приложенные ко всем частицам жидкости и обусловленные внешними силовыми полями (например, гравитационным или электрическим). Поверхностные силы возникают вследствие действия окружающей жидкости или твердых тел, они приложены к поверхности контрольного объема жидкости. Такими силами являются силы внешнего давления и силы трения.

Различают свободную и вынужденную конвекцию. В первом случае движение в рассматриваемом объеме жидкости возникает за счет неоднородности в нем массовых сил. Если жидкость с неоднородным распределением температуры и, как следствие, с неоднородным распределением плотности находится в поле земного тяготения, может возникнуть свободное гравитационное движение. В дальнейшем в основном будет рассматриваться гравитационная свободная конвекция, вызванная неоднородностью температурного поля.

Вынужденное движение рассматриваемого объема жидкости происходит под действием внешних поверхностных сил, приложенных на его границах, за счет предварительно сообщенной кинетической энергии (например, за счет работы насоса, вентилятора, ветра). Как вынужденное рассматривается и течение изучаемого объема жидкости под действием однородного в нем поля массовых сил. Иллюстрацией последнего может являться течение изотермической пленки жидкости по стенке под действием сил тяжести.

Вынужденное движение в общем случае может сопровождаться свободным движением. Относительное влияние последнего тем больше, чем больше разница температур отдельных частиц среды и чем меньше скорость вынужденного движения. При больших скоростях вынужденного движения влияние свободной конвекции становится пренебрежимо малым.

В дальнейшем в основном будут рассмотрены стационарные процессы течения и теплоотдачи. Условием стационарности является неизменность во времени скорости и температуры в любой точке жидкости (газа).

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

(постановка краевых задач конвективного теплообмена)

Из уравнения (5.2) следует, что плотность теплового потока в любой точке жидкости для каждого момента времени однозначно определяется, если известны поля температур, удельной энтальпии и скорости.

Связь между температурой и энтальпией может быть установлена следующим образом. Для реальной жидкости , и согласно понятию о полном дифференциале

,

отсюда

.

Из дифференциальных уравнений термодинамики и из определения температурного коэффициента объемного расширения следует, что

.

Для многих задач в предположении о несжимаемости жидкости с достаточной степенью точности можно принять , т.е. пользоваться соотношением, справедливым для термодинамически идеального газа:

и .

Приведенные здесь уравнения позволяют установить связь между полем температур и полем энтальпии. Чтобы аналитически найти поля температур (энтальпии) и скоростей и определить , необходимо располагать соответствующими уравнениями.

Уравнение энергии. Выведем дифференциальное уравнение, описывающее температурное поле в движущейся жидкости. При выводе будем полагать, что жидкость однородна и изотропна, ее физические параметры постоянны, энергия деформации мала по сравнению с изменением внутренней энергии.

Выделим в потоке жидкости неподвижный относительно координатной системы элементарный параллелепипед (рис.5.3) с ребрами и . Через грани параллелепипеда теплота переносится теплопроводностью и конвекцией; в общем случае в рассматриваемом объеме может выделяться теплота внутренними источниками за счет энергии, внешней по отношению к рассматриваемой жидкости.

Рис.5.3. К выводу дифференциального уравнения энергии

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты , введеное в элементарный объем извне за время вследствие конвекции и теплопроводности, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмотрения изохорного или изобарного процесса), содержащегося в элементарном объеме:

, (1.22)

где – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем путем конвекции и теплопроводности за время , – количество теплоты, которое за время выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников; – изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме , за время .

Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время в направлении осей , обозначим соответственно .

Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно . Количество теплоты, подведенное к грани в направлении оси за время , составляет , где – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани. Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси , запишем как

.

Разница между количеством теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду, и количеством теплоты отведенного от него за время в направлении оси , представляет собой количество теплоты

,

или

. (а)

Функция является непрерывной в рассматриваемом интервале и может быть разложена в ряд Тейлора:

Если ограничиться двумя первыми членами ряда, то уравнение (а) запишется в виде

. (б)

Аналогичным образом можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему и в направлениях двух других координатных осей и .

Количество теплоты , подведенное в результате теплопроводности к рассматриваемому объему, будет равно:

. (в)

Определим вторую составляющую уравнения (1.22). Обозначим количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема среды в единицу времени и называемое мощностью внутренних источников теплоты, через , Вт/м³, тогда

(г)

Третья составляющая в уравнении (1.22) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы.

При рассмотрении изохорного процесса вся теплота, подведенная к элементарному объему, уйдет на изменения внутренней энергии вещества, заключенного в этом объеме, т.е. .

Если рассматривать внутреннюю энергию единицы объема , тогда найдется как

, (д)

где – изохорная теплоемкость единицы объема, ; – изохорная теплоемкость единицы массы, ; – плотность вещества, кг/м³.

Подставляя полученные выражения (в), (г) и (д) в уравнение (1.22), получаем:

, (1.23)

или

. (1.23’)

Выражение (1.23) является дифференциальным уравнением энергии для изохорного процесса переноса теплоты.

При рассмотрении изобарного процесса вся теплота, подведенная к объему, уйдет на изменение энтальпии вещества, заключенного в этом объеме, и уравнение (1.22) запишется следующим образом:

. (1.24)

Если рассматривать энтальпию единицы объема как , то можно показать, что

, (e)

где – изобарная теплоемкость единицы объема, ; – изобарная теплоемкость единицы массы, .

Если полученные выражения (в), (г) и (е) подставить в уравнение (1.24), получим:

, (1.25)

или

. (1.25’)

где

.

Соотношение (1.25) является дифференциальным уравнением энергии в самом общем виде для изобарного процесса переноса теплоты.

Согласно уравнению (5.2) проекции плотности теплового потока на координатные оси и составляют:

и . (5.8)

Подставляя значения и в уравнение (1.25), можно получить:

.

Для несжимаемых жидкостей [см. уравнение (5.20)]

,

тогда

, (5.9)

или, если ,

. (5.10)

- коэффициент температуропроводности

Последнее уравнение, как и уравнение (5.9), является искомым уравнением энергии, описывающим распределение температур внутри движущейся жидкости.

Многочлен, стоящий в левой части уравнения (5.10), представляет собой полную производную от температуры по времени. Действительно, если , то на основании понятия о полной производной имеем:

,

где

и

имеют смысл составляющих скорости и .

Здесь характеризует изменение температуры во времени в какой-либо точке жидкости, т.е. является локальным изменением ; член

характеризует изменение температуры при переходе от точки к точке, т.е. является конвективным изменением .

Применяя обозначение

,

уравнение энергии можно записать в форме

. (5.10’)

Если , уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности.

При стационарных процессах конвективного теплообмена . Уравнение (5.10) еще более упрощается, если температура изменяется только по одной или двум координатам. В случае стационарного одномерного температурного поля все производные по и равны нулю.

Как следует из уравнения (5.10), температурное поле в движущейся жидкости зависит от составляющих скорости и . Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали изменение скорости во времени и пространстве. Такими уравнениями являются дифференциальные уравнения движения.

Уравнения движения. Вывод дифференциального уравнения движения вязкой жидкости требует громоздких математических выкладок. В связи с этим будет дан упрощенный вывод для случая одномерного течения несжимаемой жидкости. Этот вывод не является строгим, его основное достоинство заключается в наглядности. Для трехмерного движения уравнение будет приведено без вывода.

Выделим в потоке вязкой жидкости элементарный объем с размерами ребер и (рис.5.4). Скорость в потоке изменяется только в направлении оси , закон изменения скорости произволен.

Рис.5.4. К выводу дифференциального уравнения

движения жидкости

Вывод уравнения движения основан на втором законе Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение.

Силы, действующие на рассматриваемый элемент жидкости, можно разделить на массовые (или объемные) и поверхностные. Массовые силы характеризуются вектором , значение которого равно отношению силы, действующей на данную частицу, к массе этой частицы. Если учитывается только сила тяжести, то , где – ускорение свободного падения. Мы в дальнейшем будем учитывать только силу тяжести. Значение поверхностных сил равно отношению силы, действующей на элемент поверхности, к величине площади этого элемента. К поверхностным силам относятся силы трения и силы давления.

Таким образом, на рассматриваемый элемент жидкости действуют три силы: сила тяжести, равнодействующая сил давления и равнодействующая сил трения.

Найдем проекции этих сил на ось .

Сила тяжести приложена в центре тяжести элемента. Ее проекция на ось равна произведению проекции ускорения свободного падения на массу элемента:

.

Равнодействующая сила давления определяется следующим образом. Если на верхней грани элемента давление жидкости равно , то на площадку действует сила .

На нижней грани давление с точностью до второго члена разложения в ряд Тейлора равно , и на эту грань действует сила - . Здесь знак минус указывает на то, что сила действует против направления движения жидкости. Равнодействующая сил давления равна их алгебраической сумме:

.

Равнодействующая сил трения определяется из следующих соображений. Так как скорость изменяется только в направлении оси , то сила трения возникает на боковых гранях элемента жидкости (см. рис.5.4). Около левой грани скорость движения частиц жидкости меньше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении сила трения направлена против движения и равна . Около правой грани, наоборот, скорость движения частиц жидкости больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении сила трения направлена в сторону движения. Равнодействующая этих сил равна алгебраической сумме:

.

Подставляя , получаем:

.

Суммируя и , получаем проекцию на ось равнодействующей всех сил, приложенных к объему:

. (а)

Согласно второму закону механики эта равнодействующая равна произведению массы элемента на его ускорение и учитывает силы инерции:

. (б)

Приравнивая правые части уравнений (а) и (б) и производя сокращения, окончательно получаем уравнение движения вдоль оси :

.

Описание движения жидкости усложняется, если скорость изменяется по трем направлениям. В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами скоростное поле описывается тремя уравнениями движения, каждое соответственно в проекциях сил на оси и :

для оси

;. (5.11)

для оси

;. (5.12)

для оси

;. (5.13)

Уравнения (5.11) – (5.13) называют уравнениями Навье-Стокса. Все слагаемые уравнений (5.11) – (5.13) имеют размерность силы, отнесенной к единице объема.

В общем случае составляющие скорости , и изменяются во времени и в пространстве. Член, стоящий в левой части уравнений (5.11) – (5.13), представляет собой полную производную от скорости по времени.

На основании понятия о полной производной имеем:

;. (5.14)

Аналогично и для других осей:

;. (5.15)

. (5.16)

Производные и характеризуют изменение скорости во времени в какой-либо точке жидкости, т.е. характеризуют локальное изменение скорости; остальные три члена, стоящих в правых частях уравнений, характеризуют изменение скорости при переходе от точки к точке. Используя векторную форму записи, уравнения (5.11) – (5.13) можно написать в виде.

. (5.17)

Уравнение движения (5.17) получено без учета зависимости физических параметров жидкости от температуры. В частности, не учтена зависимость плотности от температуры. В то же время свободное движение жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых частиц жидкости.

Ограничимся приближенным учетом переменности плотности[1]. Используем для этого температурный коэффициент объемного расширения . Будем полагать, что в заданном интервале температур является постоянной величиной, не зависящей от температуры. Это условие лучше выполняется для газов и хуже для капельных жидкостей.

Из определения температурного коэффициента объемного расширения , следует, что при будет:

,

где и – плотности, соответствующие температурам и ; ; –некоторая фиксированная температура (точка отсчета).

Из последнего соотношения следует, что

.

Подставляя значение плотности согласно последнему уравнению в член уравнения движения (5.17), учитывающий массовые силы, получаем:

.

Рассмотрим член . Его можно трактовать как сумму силы тяжести , взятой при определенной плотности, и подъемной (архимедовой) силы . Член можно представить как градиент гидростатического давления в покоящейся жидкости с плотностью . Тогда вместо - можно написать , где . При замене на уравнение движения будет учитывать и член .

Отпуская индекс при и индекс 1 при , получаем после деления левой и правой части на следующее уравнение движения:

. (5.18)

Так как в уравнение движения помимо входит еще неизвестная величина , то система уравнений не является замкнутой. Необходимо добавить еще одно уравнение. Таким уравнением является дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности).

Уравнение сплошности.Выделим в потоке движущейся жидкости неподвижный элементарный параллелепипед со сторонами и и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него в направлении осей и за время (рис.5.5).

Рис.5.5. К выводу дифференциального уравнения сплошности

В направлении оси в параллелепипед втекает масса жидкости

, (a)

где представляет собой количество массы, протекающей в единицу времени через единицу поперечного сечения. Из противоположной грани вытекает масса

.

Ограничиваясь первыми двумя членами разложения в ряд, получаем, что масса , вытекающая из элементарного параллелепипеда в направлении оси , равна:

. (б)

Вычитая (а) из (б), получаем излишек массы жидкости, вытекающей из элементарного объема в направлении оси :

. (в)

Аналогичным образом для направлений по осям и имеем:

; (г)

. (д)

Суммируя равенства (в), (г) и (д), получаем полный избыток массы жидкости, вытекающей из рассматриваемого элементарного объема в направлении всех трех осей. Этот избыток обусловливается изменением плотности жидкости в объеме и равен изменению массы данного объема во времени . Произведя сокращение на и и перенеся все члены в левую часть равенства, окончательно получим дифференциальное уравнение сплошности или непрерывности для сжимаемых жидкостей:

. (5.19)

Для несжимаемых жидкостей, полагая , получаем:

(5.20)

или, что то же самое,

. (5.20’)

Уравнение сплошности является уравнением сохранения массы.

Таким образом, процесс конвективного теплообмена в несжимаемой однородной среде с постоянными физическими параметрами описывается системой дифференциальных уравнений (5.2), (5.10), (5.18) и (5.20).

Особенности записи дифференциальных уравнений для турбулентных потоков с использованием осредненных значений переменных будут указаны в §5.4.

Условия однозначности. Полученные дифференциальные уравнения конвективного теплообмена описывают бесчисленное множество конкретных процессов. Чтобы выделить рассматриваемый процесс и определить его однозначно, к системе дифференциальных уравнений нужно присоединить условия однозначности. Условия однозначности дают математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого явления; они состоят из:

1) геометрических условий, характеризующих форму и размеры тела или системы, в которой протекает процесс;

2) физических условий, характеризующих физические свойства среды;

3) временных или начальных условий, характеризующих особенности процесса в начальный момент времени; для стационарных задач эти условия отпадают;

4) граничных условий, характеризующих особенности протекания процесса на границах жидкой среды.

В последних должны быть заданы граничные значения зависимых (искомых) переменных или их производных. Например, для любого момента времени задаются распределение температур или тепловых потоков по поверхности тела [в простейшем случае или ], распределение температур и скоростей жидкости на входе в канал или на большом удалении от рассматриваемой поверхности теплообмена, значения скорости на стенке и т.д. Очевидно, в зависимости от вида задания граничных и других условий результаты решения (интегрирования), представляемые в виде формул или числовых значений, могут быть различны.

Система дифференциальных уравнений в совокупности с условиями однозначности представляет собой математическую формулировку краевой задачи.

Задание распределений и , где – координаты поверхности тела, часто затруднительно, так как и в общем случае зависят от процессов теплообмена в стенке и по другую ее сторону. Строго говоря, в этом случае тепловые граничные условия нельзя назначить заранее, так как они являются сложной функцией совокупности всех отдельных процессов теплообмена. Необходимо к системе дифференциальных уравнений рассматриваемого процесса конвективного теплообмена присоединить дифференциальные уравнения, описывающие процесс теплопроводности в стенке и процесс конвективного теплообмена по другую ее сторону, и задать условия сопряжения.

Для непрерывных полей условия сопряжения могут быть заданы в виде равенства температур на поверхности соприкосновения сред, а в случае отсутствия на непроницаемой границе раздела тепловыделения за счет внутренних источников – в виде равенства тепловых потоков, описываемых законом Фурье.

Для сопряженной задачи дифференциальные уравнения, условия однозначности, описывающие процессы теплообмена в смежных средах, и условия сопряжения можно трактовать как граничные условия. Конечно, в этом случае граничные условия будут очень сложны. Решения задач конвективного теплообмена большей частью получают с помощью наперед заданных граничных условий.

Физический анализ процессов конвективного теплообмена показывает, что в ряде случаев математическая формулировка задачи может быть упрощена без внесения существенных погрешностей. Например, математическая формулировка может быть упрощена при использовании понятия пограничного слоя, рассматриваемого в следующем параграфе. Вследствие сложности процессов конвективного теплообмена при его изучении особенно широко используются методы экспериментального исследования. В результате эксперимента получают синтезированные сведения о процессе, влияние отдельных факторов не всегда легко выделить. Эти трудности помогает преодолевать теория подобия, рассмотренная ранее. Основой теории подобия является математическая формулировка краевой задачи.

В ряде случаев для исследования процесса конвективного теплообмена используется его аналогия с процессами другой физической природы. Аналогия устанавливается на основе математического описания этих процессов.

Внедрение электронной вычислительной техники привело к более широкому использованию численных методов расчета. Многие задачи, не по