Колебания в системах с медленно изменяющимися параметрами.

В качестве примера такой системы можно снова рассмотреть маятник с переменной длиной при выполнении условия

. (1)

Условие (1) означает, что длина маятника мало изменяется за период колебаний .

Такие изменения параметров колебательной системы называются адиабатическими.

Рассмотрим гармонический осциллятор, описываемый уравнением

у которого коэффициент адиабатически изменяется со временем. В этом случае полная энергия зависит от времени. Вычислим производную от по :

При этом движение имеет характер колебаний с медленно изменяющимися периодом и амплитудой. Будем считать, что величина также изменяется медленно. Тогда ее можно представить в виде:

Индекс “0” означает, что значение величины в скобках берется в середине периода колеба-ний. Малая поправка является величиной более высокого порядка малости, чем .

Тогда изменение энергии осциллятора за период колебаний

Отбросим в этом выражении и индекс “0” у множителя перед интегралом. Это приведет к ошибке 2 – го порядка малости по . В силу периодичности решения можно положить . Тогда получим

. (2)

Полагая и проводя интегрирование в выражении (2), находим

Считая, что , приходим к уравнению

Интегрируя и учитывая, что , получим

, , или , .

Таким образом, при адиабатическом изменении параметров колебательной системы существуют функции ее параметров, которые остаются постоянными. Такие функции называются адиабатическими инвариантами.

Адиабатические инварианты являются эффективным средством исследования колебатель-ных систем различной природы. Они широко использутся в терии ускорителей заряженных частиц, в физике плазмы, в атомной физике и т. д.

Пример. Движение заряенной частицы в неоднородном магнитном поле.

Заряженная частица с зарядом , как известно из школьного курса физики, движется в магнитном поле по винтовой линии вдоль направления вектора индукции (рис. 1).

На частицу действует сила Лоренца

которая изменяет лишь направление скорости частицы, оставляя неизменной ее кинетическую энергию.

Разложим вектор скорости на составляющие вдоль и перпендикулярно

В плоскости, перпендикулярной к второй закон Ньютона имеет вид:

, отсюда (ларморовский радиус).

Таким образом, в плоскости частица вращается по окружности радиуса с угловой скоростью (ларморовская частота). В продольном направлении сила Лоренца не влияет на движение частицы, то есть .

В проекции на ось уравнение движения приводится к уравнению осциллятора

Рассмотрим теперь движение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле , . В этом случае, если за период вращения в плоскости магнит-ное поле изменяется мало, то его изменение является адиабатическим. В этом случае, как было показано выше существует адиабатический инвариант

, где - кинетическая энергия поперечного движения.

Обычно при рассмотрении таких движений в качестве адиабатического инварианта выбирается магнитный момент

Из этого соотношения следует, что при движении в сторону усиливающегося магнитного поля поперечная энергия частицы возрастает. При этом, так как , сохраняется полная энергия , где . Значит при возрастании должна убывать продольная энергия , то есть частица будет тормозится в нарастающем магнитном поле. В момент, когда обратится в нуль, произойдет отражение частицы от области сильного магнитного поля. Поэтому в физике плазмы такие области называют магнитными зеркала-ми, или магнитными пробками. Это явление используется для удержания горячей плазмы в магнитных ловушках (пробкотронах). Аналогичный характер имеет движение заряженных частиц в магнитном поле Земли. В этом случае, частицы отражаются от областей более сильного поля в области полюсов.