Системной функцией цифрового фильтра называется отношение Z-преобразования выходного сигнала фильтра к Z-преобразованию входного сигнала
.
Воспользовавшись (2.6) и теоремой о дискретной свертке (раздел 2.1), выразим Z-преобразование Y(z) выходного сигнала фильтра yn через Z-преобразование X(z) входного сигнала xn
Y(z) = H(z) X(z),
где .
Из последних соотношений следует, что системная функция H(z) представляет собой Z-преобразование импульсной характеристики цифрового фильтра.
Полюсом системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) стремится к бесконечности.
Нулем системной функции называется значение комплексной переменной z, при котором системная функция H(z) равна нулю.
Рассмотрим формы программной реализации фильтра:
1. Прямая форма
На рисунке 2.5 представлен алгоритм функционирования цифрового фильтра при прямой форме реализации. Прямая форма следует из определения фильтра как линейной системы. Следовательно, n – ый отсчет выходного сигнала фильтра yn должен быть связан линейными соотношениями с отсчетами входного сигнала в данный и предшествующие моменты дискретного времени xn, xn-1, ..xn-N и отсчетами выходного сигнала в предшествующие моменты времени yn-1, yn-2, .. yn-N. Соответствующие коэффициенты пропорциональности B0, B1, .. BN, A1, A2, .. AN определяют свойства фильтра.
Рисунок 2.5 – Прямая форма программной реализации фильтра
Согласно схеме рисунка 2.5 запишем разностное уравнение
Выразим Z - преобразование выходного сигнала Y(z) через Z-преобразование входного сигнала
Из последнего соотношения получим
. (2.7)
Таким образом, системная функция цифрового фильтра в общем случае представляет собой дробно-рациональную функцию. Полином числителя описывает нерекурсивную часть фильтра, а полином знаменателя – рекурсивную.
Чтобы найти нули системной функции, нужно полином числителя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.
Чтобы найти полюсы системной функции, нужно полином знаменателя приравнять нулю и найти корни полученного уравнения.
Отметим, что знаки перед коэффициентами A в выражении для системной функции и в разностном уравнении противоположны.
2. Каноническая форма.
Представим выражение (2.7) в виде произведения двух функций
,
(2.8)
Согласно (2.8) цифровой фильтр с системной функцией H(z) можно представить в виде последовательного соединения двух фильтров с системными функциями HA(z) и HB(z) (рисунок 2.6).
Рисунок 2.6 – Представление фильтра с прямой формой реализации
в виде последовательного соединения двух фильтров
Действительно,
.
Заменив укрупненный алгоритм рисунка 2.6 детальным, получим схему фильтра, изображенную на рисунке 2.7.
Рисунок 2.7 – Детальный алгоритм представления фильтра с прямой реализацией
Дата добавления: 2021-04-21; просмотров: 151;