Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

Энергия- общая мера различных форм движения материи. Способность тела при переходе из одного состояния в другое совершать определенную работу, называется энергией.

Энергия может быть потенциальной и кинетической. Под потенциальной энергией понимают энергию взаимодействия между материальными телами. Энергия, связанная со скоростью тела, называется кинетической.

Жидкость, как всякое тело, обладает запасом энергии. Для жидкости и газов потенциальная энергия складывается из энергии положения и энергии давления, а полная удельная энергия оценивается гидростатическим напором. (Удельной энергией жидкости называется энергия единицы массы жидкости).

Для вывода уравнения Бернулли используем известную из механики теорему об изменении кинетической энергии движущегося тела. Напомним, что эта теорема читается так; "Изменение кинетической энергии рассматриваемого тела на некотором его перемещении равно сумме работ всех сил, приложенных к данному телу, на том же перемещении ".

Рассмотрим элементарную струйку потока идеальной жидкости ( рисунок1 ).

Рисунок 1.

Выделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отсек струйки АВ.

Обозначим через Z1 и Z2 превышение сечений 1-1 и 2-2 над плоскостью сравнения 0-0; через DW1 и DW2, площади живого сечения струйки в сечениях 1-1 и 2-2.

Будем считать, что за Dt время отсек АВ струйки переместился в положение А В, при этом сечение 1-1 струйки переместился на расстояние DS1 ,и сечение 2-2 на расстояние DS2.

Заметим, что

DS1=V1Dt DS2=V2Dt,

где V1 и V2 - скорость в сечениях 1-1 и 2-2.

Согласно уравнения неравномерности потока можно показать, что объем элементарных отсеков струйки АА₁ и ВВ₁ равны, т.е.

объем (АА₁) = объему (ВВ₁), DVAA1=DVBB1

причем DV= DW1DS1 =DW2DS2=DQDt,

где DQ - элементарный расход жидкости для струйки.

Обозначим массу элементарного объема через

D m = V,

где r - плотность жидкости,

Найдем теперь изменение кинетической энергии-отсека АВ при перемещении его в положение А₁ В₁ и работу сил приложенных к атому отсеку, на указанном перемещении.

Изменение кинетической энергии. Обозначим упомянутое изменение кинетической энергии (Кэ) через (DКэ). Тогда можно записать (см. рис. 1).

DКэ = Кэ(А₁ В₂) - Кэ(АВ) = Кэ(А₁В+ВВ₁)- Кэ(АА₁-А₁В) = Кэ(ВВ₁)-Кэ(АА₁);

т.е.

или учитывая, что Dm = rDV можно записать

Работа силы тяжести. Как видно на чертежа (рисунок 1), эффект силы тяжести проявляется как 6ы в том, что отсек АА₁ переместится в положение ВВ₁ а отсек А₁ В остался на месте.

Пользуясь такой условной схемой, работу силы тяжести (РСТ) получим в виде

PCТ=(Z1- Z2) rDgDV,

Таким образом, работа силы тяжести равна произведению веса тела (rgDV) на величину эго перемещения по вертикали (Z1 -Z2).

Рассмотрим работу сил гидростатического давления, действующего на торцевые сечения 1-1 и 2-2. отсека.