Колебаний системы с двумя степенями свободы


 

 

В качестве такой системы возьмем балку, на которой находятся два груза.

За обобщенные координаты возьмем отклонения грузов от положения статического равновесия:

q1 =y1 ; q2 =y2.

Запишем уравнение Лагранжа:

 

= –

 

= –

Т = m1( )2 + m2( )2 – кинетическая энергия

 

= m1 ; = m2 .

 

Вычислим потенциальную энергию системы, используя матричные выражения для потенциальной энергии:

П = {y}Т× × {y}

Развернув матричное уравнение, получим:

П = (r11у1 + r12у2) у1 + (r21у1 + r22у2) у2

Вычисляем производные от потенциальной энергии:

= r11у1 + r12у2 + r21 у2 = r11у1 + r12у2

Здесь использовался тот факт, что матрица жесткости является симметричной.

= r12у1 + r21 у1 + r22у2 = r21у1 + r22у2

Подставляем найденное в уравнение Лагранжа:

m1 + r11у1 + r12у2 = 0

m2 + r21у1 + r22у2 = 0

Получили дифференциальное уравнение движения системы в прямой форме. Эту систему дифференциальных уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения:

 

× + × = 0

 

[m] = – матрица масс

 

{y}= – вектор обобщенных координат

 

= – вектор обобщенных ускорений

 

[m]× + × {y} = 0 (***) – матричная форма дифференциальных уравнения движения системы (в прямой форме).

Такая форма записи верна для систем с любым числом степеней свободы.

Умножим равенство (***) на матрицу податливости системы [δ]:

[δ] [m]× + × {y} = 0

= Е – единичная матрица

Е{y}= {y}

{y} + [δ] [m]× = 0

Перейдем от матричной формы записи к обычной:

× × = 0

 

× = 0

 

y1 + + = 0

y2 + + = 0

 

Получили дифференциальные уравнения движения системы в обратной форме. Для решения задач строительной механики удобнее применять дифференциальные уравнения в обратной форме, т.к. элементы матрицы податливости вычисляются проще, чем элементы матрицы жесткости.

 



Дата добавления: 2016-11-29; просмотров: 1928;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.