Колебаний системы с двумя степенями свободы
В качестве такой системы возьмем балку, на которой находятся два груза.
За обобщенные координаты возьмем отклонения грузов от положения статического равновесия:
q1 =y1 ; q2 =y2.
Запишем уравнение Лагранжа:
– = –
– = –
Т = m1( )2 + m2( )2 – кинетическая энергия
= m1 ; = m2 .
Вычислим потенциальную энергию системы, используя матричные выражения для потенциальной энергии:
П = {y}Т× × {y}
Развернув матричное уравнение, получим:
П = (r11у1 + r12у2) у1 + (r21у1 + r22у2) у2
Вычисляем производные от потенциальной энергии:
= r11у1 + r12у2 + r21 у2 = r11у1 + r12у2
Здесь использовался тот факт, что матрица жесткости является симметричной.
= r12у1 + r21 у1 + r22у2 = r21у1 + r22у2
Подставляем найденное в уравнение Лагранжа:
m1 + r11у1 + r12у2 = 0
m2 + r21у1 + r22у2 = 0
Получили дифференциальное уравнение движения системы в прямой форме. Эту систему дифференциальных уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения:
× + × = 0
[m] = – матрица масс
{y}= – вектор обобщенных координат
= – вектор обобщенных ускорений
[m]× + × {y} = 0 (***) – матричная форма дифференциальных уравнения движения системы (в прямой форме).
Такая форма записи верна для систем с любым числом степеней свободы.
Умножим равенство (***) на матрицу податливости системы [δ]:
[δ] [m]× + × {y} = 0
= Е – единичная матрица
Е{y}= {y}
{y} + [δ] [m]× = 0
Перейдем от матричной формы записи к обычной:
× × = 0
× = 0
y1 + + = 0
y2 + + = 0
Получили дифференциальные уравнения движения системы в обратной форме. Для решения задач строительной механики удобнее применять дифференциальные уравнения в обратной форме, т.к. элементы матрицы податливости вычисляются проще, чем элементы матрицы жесткости.
Дата добавления: 2016-11-29; просмотров: 1928;