Колебания систем с двумя степенями свободы

Матрицы жесткости и податливости

Рассмотрим упругую плоскую стержневую систему, к которой приложено n сил.

Р_n Р₁, Р₂, …, Р_n – система сил

Р₂

Р₁

Будем считать, что система является линейно-деформируемой. Назовем точки приложения сил узлами и обозначим: у₁, у₂, …, у_n перемещения узлов по направлениям приложенных к ним сил (узловые перемещения). Каждая сила может быть представлена как линейная функция от узловых перемещений:

Р₁ = r₁₁y₁ + r₁₂ y₂ + … + r_1n y_n

Р₂ = r₂₁y₁ + r₂₂ y₂ + … + r_2n y_n

…………………………………

Р_n = r_n1y₁ + r_n2 y₂ + … + r_nn y_n

Обозначим:

Р₁

{P} = Р₂ – вектор внешней нагрузки

…

Р_n

y₁

{y} = y₂

… – вектор узловых перемещений

y_n

r₁₁ r₁₂ … r_1n

r₂₁ r₂₂ … r_2n – матрица жесткости системы

= …………….

r_n1 r_n2 … r_nn

{P} = {y} (*)

Матрица жесткости представляет собой квадратную симметричную матрицу, все диагональные элементы которой положительны (r_ii 0).

Физический смысл матрицы жесткости. Наложим на систему дополнительные связи, поставив их по направлениям узловых перемещений. Сообщим связи под номером j единичное перемещение. Элемент r_ij матрицы жесткости представляет собой реакцию, возникающую в связи с номером i при единичном перемещении связи с номером j.

Каждое узловое перемещение можно представить как линейную функцию от действующих на систему сил:

у₁ = δ₁₁Р₁ + δ₁₂Р₂ + … + δ_1nP_n

у₂ = δ₂₁Р₁ + δ₂₂Р₂ + … + δ_2nP_n

………………………………..

у_n = δ_n1Р₁ + δ_n2Р₂ + … + δ_nnP_n

Обозначим:

δ₁₁ δ₁₂ … δ_1n

δ₂₁ δ₂₂ … δ_2n – матрица податливости системы

[δ] = ………………….

δ_n1 δ_n2 … δ_nn

{y} = [δ] {P}. (**)

Физический смысл матрицы податливости.

δ_ij – представляет собой перемещение узла с номером i от единичной силы, приложенной в узле с номером j.

Найдем зависимость между матрицами жесткости и податливости. Умножим равенство (**) на обратную матрицу [δ] ^-1:

[δ] ^-1 {y} =[δ] ^-1 [δ] {P}.

[δ] ^-1 [δ] = Е – единичная матрица

{P} = [δ] ^-1 {y}.

Сравнивая полученное равенство с равенством (*), заключаем:

= [δ] ^-1.

Аналогично можно получить [δ] = ^-1.

Следовательно, матрицы жесткости и податливости являются взаимно обратными.

Матрица податливости также представляет собой квадратную симметричную матрицу, все главные диагональные элементы которой положительны.