Методы описания динамических свойств звеньев и систем

Динамический режим работы возмущающих и управляющих воздействий и является следствием инерционности элементов системы.

Если исключить из уравнений внутреннюю переменную Х, получим уравнение, связующее входные и выходные сигналы:

Такие математические модели называются моделями “вход-выход”. В общем случае это воздействие U и m – его производных U’, U’’, …, U^(m). Управляющее воздействие f и q – его производных f’, f’’, …, f^(q). Выходная величина Y и n – ее производных y’, y’’, …, y⁽ⁿ⁾. Таким образом, получаем уравнение от (n+m+q+3) переменных:

Обычно, это уравнение нелинейное, но стараются провести линеаризацию и тогда динамика линейных звеньев и систем в общем виде описывается линейным однородным дифференциальным уравнением.

(1)

Для описания динамики звеньев существуют три основных способа:

- линейное дифференциальное уравнение;

- с помощью передаточной функции;

- с помощью частотных характеристик.

Понятие передаточной функции

Введем оператор или символ дифференцирования

(2)

Уравнение (1) называется оригиналом, а уравнение (2) – его операторным изображением, аналогично U(t), Y(t) – оригиналы входного и выходного сигналов, а U(p), Y(p) – их операторные изображения. Была доказана связь операторной формы дифференциальных уравнений с методом интегральных преобразований Лапласса и Фурье.

Суть интегрального преобразования состоит в том, что оно преобразует некоторую функцию вещественной переменной f(t), называемую оригиналом в функцию комплексной переменной F(S). Формула интегрального преобразования Лапласса имеет вид:

, где - комплексный параметр преобразований Лапласса.

Если произвести преобразование Лапласса для уравнения (1), то при нулевых начальных условиях получим следующее:

(3)

При нулевых начальных условиях операторное изображение уравнения (1) и его изображение по Лаплассу совпадает с точностью до обозначения.

Достоинство метода интегральных преобразований – преобразовываются не только функции (оригинал в изображение), но и операции над ними (дифференцирование – на умножение). В результате дифференциальное уравнение приводится к алгебраическому виду.

Из выражения (2) и (3) можно получить важную характеристику, называемую передаточной функцией:

Передаточной функцией (ПФ) называется отношение операторного изображения выходной величины к входной, полученное при нулевых начальных условия:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Особенности и свойства преобразований Лапласса.

U(t) U(p)

d(t) 1

1(t) 1/p

at 1/p²

………….

Выполнив обратное преобразование Лапласса найдем оригинал:

Формула преобразования имеет вид:

Это контурный интеграл на комплексной плоскости. В инженерной практике используют готовые таблицы преобразований Лапласса:

f(t) F(p)

1(t) 1/p

at 1/p²

e^-a/t 1/(p+a)

sin w₀t w₀²/(p²+w₀²)

cos w₀t p/(p²+w₀²)

1/a(1- e^-a/t) 1/p(p+a)

1/w₀ e^-a/tsin w₀t 1/(p+a)²+w₀²