Решение ОДУ n-го порядка
Методы, рассмотренные выше, позволяют найти численное решение ОДУ только первого порядка. Однако они применимы и к уравнениям n-го порядка. Для этого ОДУn-го порядка предварительно приводится к системе n уравнений первого порядка.
Пусть, например, требуется решить ОДУвторого порядка
,
с начальными условиями , , .
Обозначим z=y’. В результате подстановки в исходное уравнение получим систему двух уравнений первого порядка
,
с двумя неизвестными функциями и и начальными условиями
, .
В общем виде система уравнений может быть представлена в виде
(1.5.4-1)
Решением системы(1.5.4-1) являются две функции и , из которых - решение исходного уравнения второго порядка. Выбрав, например, метод Эйлера, приближенное решение системы (1.5.4-1) можно найти с помощью двух рекуррентных формул:
Пример 1.5.4-1. Дано обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка при начальных условиях , , на отрезке [0;0.4] с шагом .
Обозначим , тогда ОДУ второго порядка можно записать в виде системы ОДУ первого порядка
с начальными условиями , , .
Применим метод Эйлера для решения системы ОДУ
и т.д.
xi | yi | zi |
0.2 | 1.4 | 1.6 |
0.4 | 1.72 | 1.808 |
В общем виде ОДУn-го порядка
.
Введемследующие обозначения:
…
В результате этих подстановок перейдемк системеnОДУ первого порядка:
(1.5.4-2)
Решением системы (1.5.4-2) являются функции
При заданных начальных условиях , и использовании метода Эйлера решение может быть получено с помощью рекуррентных формул
Окончательным решением ОДУn-го порядка, согласно определению, служит функция , вычисленная на заданном множестве точек[a;b].
Дата добавления: 2016-05-31; просмотров: 1822;