Вторая интерполяционная формула Ньютона

Вторая формула Ньютона обладает аналогичными свойствами относительно левой части таблицы. Для ее построения используют многочлен вида:

P_n(x)=a₀+a₁(x-x_n)+a₂(x-x_n)(x-x_n-1)+ …+a_n(x-x_n)(x-x_n-1)…(x-x₁),(1.3.3-8)

где а_i, i =0, 1, 2, …, n – коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции.

Для определения коэффициентов а_i будем в (1.3.3-8) поочередно подставлять узлы интерполяции. При х = x_nP_n(x_n)=y_n, следовательно, a₀ = y_n.

При х = x_n-1имеем P_n(x_n-1) = y_n-1 =a₀+a₁(x_n-1-x_n)=y_n+a₁(x_n-1-x_n), откуда

Продолжая подстановку, получим выражение для всех коэффициентов многочлена (1.3.3-8) и запишем вторую интерполяционную формулу Ньютона:

(1.3.3-9)

Введя обозначение:

и, подставив х в (1.3.3-8), получаем формулу Ньютона для интерполяции назад:

(1.3.3-10)

Воспользуемся этой формулой для вычисления значения функции, заданной таблицей1.3.3-1, в точке х = 1.7.

Точка х=1.7 расположена в конце таблицы. В качестве узлов интерполяции выберем:х₃=1.8, х₂=1.6 и х₁=1.4:

Погрешности интерполяционных формул Ньютона определяются соотношением:

· для первой формулы Ньютона:

(1.3.3-11)

· для второй формулы Ньютона:

(1.3.3-12)

где - некоторое промежуточное значение между узлами интерполяции.

На практике, если интерполируемая функция y =f(x) задана таблично, полагая, что Dⁿ⁺¹=const, а h –достаточно мало, используют приближенные равенства:

(1.3.3-13)

Пример 1.3.3-1.Вычислить c использованием 1-й и 2-й формул Ньютона значение функции, заданной таблицей равноотстоящих узлов, в точке х=1.23.

Используем 1-ю формулу Ньютона. Выберем х₀ = 1.2; х₁ = 1.3; х₂= 1.4.

Построим таблицу конечных разностей:

Тогда:

Практическая погрешность оценивается соотношением:

e₁ = |Р₂(х)-Р₁(х)|=|0.206958-0.206335|=0.000623.

Решим ту же задачу с помощью 2-й формулы Ньютона. Пусть х_n = 1.3; х_n-1 = 1.2; х_n-2= 1.1.

Таблица конечных разностей имеет вид:

Тогда: