Преобразование Лапласа

Дифференциальное уравнение, описываемое взаимосвязь выходного и входного сигналов в динамическом режиме работы, называется динамическойхарактеристикой.

Для получения математической модели достаточно использовать несколько типовых уравнений взаимосвязи выходного и входного сигналов элементов САУ, которые называются типовыми динамическими звеньями (ТДЗ).

Передаточной функцией (ПФ) называется преобразованное по Лапласу исходное дифференциальное уравнение, т.е. уравнение, записанное в виде отношения преобразованных по Лапласу выходного и входного сигналов звена.

В преобразовании по Лапласу исходное дифференциальное уравнение называется оригиналом, а преобразованное и записанное в операторной форме уравнение – его изображением. Суть преобразования Лапласа заключается в замене функций вещественных переменных х _вых(t) и х_вх (t) на функции комплексных переменных х _вых(s) и х_вх (s), где s – комплексное число s = ±σ ± jω. Эти функции связаны между собой интегралом Лапласа:

В сокращенной форме записи

x(s) = L{x(t)} или x(s) ≡ x(t),

где L – оператор Лапласа; x(s) – изображение; x(t) – оригинал.

Пьер Симон Лаплас (1749 - 1827) – французский математик, астроном, физик. Основоположник дифференциальных уравнений, теории вероятностей.

Обратное преобразование Лапласа

Этот интеграл берется вдоль любой прямой Re s = σ₀.

В сокращенной форме записи

x(t) = L^-1 {x(s)},

где L^-1 – обратный оператор Лапласа.

Основные свойства преобразований Лапласа:

1) линейности L{α x₁(t) + β x₂(t)} = α L{x₁(t)} + β L{x₂(t)};

2) дифференцирование при нулевых начальных условиях

3) интегрирование

4) теорема запаздывания

5) теорема о свертке или умножение изображений

6) теорема деления изображений

при m < n

где m и n – степень числителя и знаменателя.

а) если известно, что корни кратные, то

где s_k – корни знаменателя B(s) = 0; n_k – их кратность; l – число различных корней.

б) если все корни простые, то

где n – степень знаменателя B(s) = 0;

Формальным условием перехода от оригинала к изображению будут следующие замены: d/dt на s; d²/dt² на s² и т.д.

Таким образом, легко можно получить из оригинала изображение, т.е. операторную форму записи дифференциального уравнения ТДЗ.