Методика и результаты применения различных разностных схем

Прежде чем перейти от одномерной задачи к многомерной, рассмотрим значения Ф_P, полученные при использовании различных схем для заданных Ф_E и Ф_W. Без потери общности положим Ф_E =1 и Ф_W =0. Далее предположим, что отрезки (dx)_e и (dx)_w равны, при этом Ф_P будет функцией P=rudx/Г. Зависимость Ф_P от P, полученная по различным схемам, показана на рис. 5.7 (результаты расчета по схеме со степенным законом и точному решению так близки, что изображены на рисунке одной кривой).

Рис. 5.7 Зависимость ФP от числа Пекле, полученная по различным схемам (см. таблицу 5.1)

Все схемы, за исключением центрально-разностной, дают результаты, которые можно назвать физически реальными, а центрально-разностная схема дает значения, которые лежат вне области [0, 1], определенной крайними значениями. Поскольку сеточное число Пекле определяет поведение численных схем, в принципе возможно для центрально-разностной схемы изменить сетку (т.е. использовать меньшие dx), чтобы на ней получать разумные решения до тех пор, пока P является достаточно малым (менее 2).

В большинстве практических задач этот способ, однако, требует использования очень мелких сеток, которые обычно не применимы из экономических соображений. В любом случае мы можем не принимать такого ограничения до тех пор, пока будем рассматривать процедуры, которые позволят получить физически реальные решения даже на грубых сетках.

Дискретный аналог для многомерных задач

Запишем общее дифференциальное уравнение для нестационарной конвекции и диффузии

. (5.12)