Физический смысл определённого интеграла.

Применение интеграла к решению прикладных задач.

Содержание:

Площадь плоской фигуры

Геометрический смысл производной

Рис. 1

Геометрический смысл определённого интеграла заключается в нахождении площади криволинейной трапеции по формуле Ньютона-Лейбница (рис. 1)

Формула Ньютона-Лейбница:

Случаи.

Рис. 2

Если - чётная функция, то (рис. 2)

Рис. 3

Если криволинейная трапеция находится ниже оси , то (рис. 3)

Рис. 4

(рис. 4)

Рис. 5

(рис. 5)

Пример 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: и (рис. 6).

Рис. 6

Решение:

Пример 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: и (рис. 7)

Рис. 7

Решение:

Объём тела вращения

Формула для вычисления объёма тела, вращаемого вокруг оси

Пример 3. Вычислите объём тела, получаемого вращением вокруг оси функции , в промежутке от 1 до 3 (рис. 8)

Рис. 8

Решение:

Физический смысл определённого интеграла.

Физический смысл производной: Скорость есть производная от пути.

Физический смысл определённого интеграла: Путь есть интеграл от скорости по времени:

Пример 4. Тело движется прямолинейно и его скорость задаётся формулой Определите путь, пройденный этим телом за 3 секунды, за третью секунду.

Решение:

Пример 5. Определите путь тела от начала движения до остановки, если его скорость определяется формулой

Решение:

Если тело остановилось, то его скорость