Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости


Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под действи- ем лишь одной массовой силы – силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравне- ние, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее движения.

Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, а выделим сечениями 1 и 2 участок этой струйки произвольной длины (рис. 5.4). Пусть площадь первого сечения равна dS1 скорость в нем v1 давление p1 а высота расположения центра тяжести сечения, от- считанная от произвольной горизонтальной плоскости сравнения, z1. Во втором сечении со- ответственно dS2, v2, р2 и z2.

За бесконечно малый отрезок времени dt выделенный участок струйки переместится в положение 1– 2.

Применим к массе жидкости в объеме участка струйка теорему механики о том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела. Таки- ми силами в данном случае являются силы давления, действующее нормально к поверхности рассматриваемого участка струйки, и сила тяжести. Подсчитаем работу сил давления, силы тяжести и изменение кинетической энергии


участка струйки за время dt.

Работа силы давления в первом сече-


р1 1´


2 р2 2´


нии положительна, так как направление си- лы совпадает с направлением перемещения,


v1 v2


и выражается как произведение силы p1dS на


1 1´2


путь v1dt:


 

p1 dS1 ν1dt .


dG dG2´


Работа силы давления во втором се- чении имеет знак минус, так как направле- ние силы прямо противоположно направле- нию перемещения, и определяется выраже- нием


 

Рис. 5.4. Схема для вывода уравнения Бернулли


p2 dS2 v2dt.

Силы давления, действующие по боковой поверхности отрезка струйки, работы не производят, так как они нормальны к этой поверхности, а следовательно, нормальны и к пе- ремещениям.

Итак, работа сил давления будет равна


p1 dS1ν1dt


– p2v2 dS2 dt. (5.13)


Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка


струйки, поэтому надо из энергии положения жидкости В объеме 1 – 2 вычесть энергию по- ложения жидкости в объеме 1' – 2'. При этом энергия положения промежуточного объема

1' – 2 сократится, и останется лишь разность энергий элементов 1 – 1', 2 – 2'. Если учесть уравнение расхода, то нетрудно заметить, что объемы, а следовательно, и силы тяжести за- штрихованных элементов 1 – 1' и 2 – 2' равны между собой:

dG = rg dS1 ν1dt = rg v2 dS2 dt. (5.14) Тогда работа силы тяжести выразится как произведение разности высот на силу тяже-

сти dG:

(z1 – z2)dG. (5.15)

Чтобы подсчитать приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время dt, необходимо из кинетической энергии объема 1' – 2' вычесть кинетиче- скую энергию объема 1 – 2. При вычитании кинетическая энергия промежуточного объема

1' – 2 сократится, и останется лишь разность кинетических энергий элементов 2 – 2' и 1 – 1', сила тяжести каждого из которых равна dG.

Таким образом, приращение кинетической энергии равно

(v22 – v 2) dG/(2g). (5.16)

Сложив работу сил давления [см. уравнение (5.13)] с работой силы тяжести [см. урав- нение (5.15)] и приравняв эту сумму приращению кинетической энергии [см. уравнение (5.16)], получим

р1 dS1 v1 dt – p2 dS2 v2 dt + (z1 – z2) dG = (v 2 – v12) dG/(2g). (5.17)

Разделим это уравнение на dG и произведя сокращения, получим


p1 - p2 + z - z


n 2 n2

= 2 - 1 .


 

ρg ρg


1 2 2g 2g


Сгруппируем члены, относящиеся к первому сечению, в левой части уравнения, а члены, относящиеся ко второму сечению, в правой:


p n 2

z + 1 + 1 = z


p n 2

+ 2 + 2


(5.18)


1 ρg 2g 2 ρg 2g

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости. Оно было выведено Даниилом Бернулли в 1738 г.

 



Дата добавления: 2016-10-07; просмотров: 1552;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.