Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под действи- ем лишь одной массовой силы – силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравне- ние, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее движения.
Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, а выделим сечениями 1 и 2 участок этой струйки произвольной длины (рис. 5.4). Пусть площадь первого сечения равна dS1 скорость в нем v1 давление p1 а высота расположения центра тяжести сечения, от- считанная от произвольной горизонтальной плоскости сравнения, z1. Во втором сечении со- ответственно dS2, v2, р2 и z2.
За бесконечно малый отрезок времени dt выделенный участок струйки переместится в положение 1′– 2′.
Применим к массе жидкости в объеме участка струйка теорему механики о том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела. Таки- ми силами в данном случае являются силы давления, действующее нормально к поверхности рассматриваемого участка струйки, и сила тяжести. Подсчитаем работу сил давления, силы тяжести и изменение кинетической энергии
участка струйки за время dt.
Работа силы давления в первом сече-
р1 1´
2 р2 2´
нии положительна, так как направление си- лы совпадает с направлением перемещения,
v1 v2
и выражается как произведение силы p1dS на
1 1´2
путь v1dt:
p1 dS1 ν1dt .
dG dG2´
Работа силы давления во втором се- чении имеет знак минус, так как направле- ние силы прямо противоположно направле- нию перемещения, и определяется выраже- нием
Рис. 5.4. Схема для вывода уравнения Бернулли
— p2 dS2 v2dt.
Силы давления, действующие по боковой поверхности отрезка струйки, работы не производят, так как они нормальны к этой поверхности, а следовательно, нормальны и к пе- ремещениям.
Итак, работа сил давления будет равна
p1 dS1ν1dt
– p2v2 dS2 dt. (5.13)
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка
струйки, поэтому надо из энергии положения жидкости В объеме 1 – 2 вычесть энергию по- ложения жидкости в объеме 1' – 2'. При этом энергия положения промежуточного объема
1' – 2 сократится, и останется лишь разность энергий элементов 1 – 1', 2 – 2'. Если учесть уравнение расхода, то нетрудно заметить, что объемы, а следовательно, и силы тяжести за- штрихованных элементов 1 – 1' и 2 – 2' равны между собой:
dG = rg dS1 ν1dt = rg v2 dS2 dt. (5.14) Тогда работа силы тяжести выразится как произведение разности высот на силу тяже-
сти dG:
(z1 – z2)dG. (5.15)
Чтобы подсчитать приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время dt, необходимо из кинетической энергии объема 1' – 2' вычесть кинетиче- скую энергию объема 1 – 2. При вычитании кинетическая энергия промежуточного объема
1' – 2 сократится, и останется лишь разность кинетических энергий элементов 2 – 2' и 1 – 1', сила тяжести каждого из которых равна dG.
Таким образом, приращение кинетической энергии равно
Сложив работу сил давления [см. уравнение (5.13)] с работой силы тяжести [см. урав- нение (5.15)] и приравняв эту сумму приращению кинетической энергии [см. уравнение (5.16)], получим
Разделим это уравнение на dG и произведя сокращения, получим
p1 - p2 + z - z
n 2 n2
= 2 - 1 .
ρg ρg
1 2 2g 2g
Сгруппируем члены, относящиеся к первому сечению, в левой части уравнения, а члены, относящиеся ко второму сечению, в правой:
p n 2
z + 1 + 1 = z
p n 2
+ 2 + 2
(5.18)
1 ρg 2g 2 ρg 2g
Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости. Оно было выведено Даниилом Бернулли в 1738 г.
Дата добавления: 2016-10-07; просмотров: 1552;