Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости (уравнения Навье – Стокса)

Для получения дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости мысленно выделим в потоке жидкости элементарный объем в виде параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. Пусть в данный момент времени в точке А, находящейся в центре параллелепипеда, скорость u, проекции которой на оси неподвижной системы координат ux, uy, uz, проекции касательных напряжений на оси координат tху = tух, tzх = tхz, tyz= tzyи проекции нормальных напряжений σx, σy, σz. Проекции напряжений, действующих на гранях параллелепипеда, пока- заны на рис. 5.3. Кроме поверхностных сил, на параллелепипед действует массовая сила. проекции единичной массовой силы на координатные оси соответственно X, Y, Z. Составим

1 ¶t

s + 1 ¶szdz

1 ¶t

1 ¶tyx

t zy + zydz

2 ¶z

t + zxdz

t yx - dy

z

z

2 ¶z

zx 2 ¶z

2 ¶y

t + 1

¶t yz dy

o y -

1 ¶sy

dy

yz 2 ¶y

2 ¶y

txy -

1 ¶txy

dx

tzx

+ 1 ¶t zx dx

2 ¶x

2 ¶x

s -1 ¶s x

o x +

1 ¶s xdx

x 2 ¶x dx A

2 ¶x

¶t

txz

- 1 ¶txz dx 0

txy +1

xy dx

2 ¶x

2 ¶x

x

o y +

1 ¶sy

dy

t - 1 ¶tyz dy

2 ¶y

yz 2 ¶y

t +1 ¶tyx

1 ¶t

yx 2 ¶y dy

y

t -1 ¶t

1 ¶s z

z

tzy -

zy dz

2 ¶z

zx zx dz

o - dz

2 ¶z

2 ¶z

Рис. 5.3. Схема к выводу дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости

уравнение баланса сил в проекции на ось 0x:

æ ¶s ö æ ¶s ö

-çs -1

x dx¸dydz+çs +1

xdx¸dydz-

è x 2 ¶x ø

æ ¶t ö

è x 2 ¶x ø

æ ¶t ö

ø

- çt - 1

yx dy ¸dx dz + çt + 1

yxdy ¸dx dz -

çyx

è

æ

2 ¶y ¸

¶t ö

çyx

è

æ

2 ¶y ¸

ø

¶t ö

(5.9)

- çt -1

zx dz¸dxdy+çt +1

zxdz¸dxdy+

è zx 2 ¶z ø è zx 2 ¶z ø

+ ρXdxdydz = ρ duxdxdydz.

dt

Раскрыв скобки и разделив обе части уравнения (5.9) на массу параллелепипеда

r dxdydz, получаем

ç

X+1 æ¶s x+

¶t yx+

¶t ö du

zx x

¸

¸= .

(5.10)

ρ

è

ç ¶x ¶y

¶z ø dt

Подставляя значения соответствующих напряжений в уравнение (5.10), имеем

1 ¶p

2 μ ¶ ux

2 μ ¶

æ¶ux

¶uy

¶uz ö

¸

X - +

ρ ¶x

ρ ¶x2

- çç +

3 ρ ¶x è¶x ¶y

+ ¸+

¶z ø

¶ æ¶ ¶ ö æ ö

+

è

¸

μ ç

ux +

uy ¸+ μ

¶ ¶u ¶u du

ç x + z ¸ = x ,

что преобразуется к виду

ρ ¶y ç¶y

¶x ø

ρ ¶z è¶z

¶x ø dt

1 ¶p

μ æ¶2u

¶2u

¶2u ö

1 μ ¶

æ ¶u ¶u

¶u ö

du .

X - +

çç x + x + x ¸¸+

çç x + + z ¸¸ = x

(5.11)

y

ρ ¶x

ρ è¶x2

¶y2

¶z2 ø

3 ρ ¶x è¶x ¶y

¶z ø dt

По аналогии для других осей имеем

¶ æ ¶2 ¶2

¶2 ö

æ ¶ ¶ ö

Y - 1

p +μ ç

uy+

uy+

uy¸+1 μ

¶ ç¶ux+

uy +

uz ¸= duy;

è

è

ρ ¶y

ρ ç¶x2

¶y2

¶z 2 ¸

3 ρ ¶y ç¶x ¶y

¸

¶z ø dt

(5.12)

ø

Z -1 ¶p +μ ç¶ uz +¶ uz +¶ uz ¸+1 μ ¶ ç¶ux +¶uy +¶uz ¸=duz;

¸

æ 2 2 2 ö æ ö

ρ ¶z

ρ ç¶x2

¶y 2

¶z 2 ¸

3 ρ ¶z ç¶x ¶y

è

è

ø

¶z ø dt

Уравнения (5.11) – (5.12) называются уравнениями Навье – Стокса. При m = 0 эти уравнения обращаются в уравнения Эйлера.

Уравнения Навье – Стокса совместно с уравнением неразрывности и характеристиче- ским уравнением состояния (4.3) дают систему совокупных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости. Точное интегрирование этих уравнений удается лишь при реше- нии небольшого числа задач. Для полной физической определенности решений системы уравнений Навье – Стокса должны быть заданы граничные условия.