Уравнение неразрывности


Уравнение неразрывности

Основные уравнения гидродинамики выражают закон сохранения массы и закон со- хранения энергии для движущейся жидкости.

Закон сохранения массы для установившегося потока несжимаемой жидкости в канале с непроницаемыми стенками для условий сплошности (неразрывности) течения сводится к закону постоянства расхода вдоль канала и выражается уравнением объемного расхода (рис. 5.1):


 

где υср1 , υср2


Q = υср1 S1 = υср2 S2 = const , (5.1)

– средние скорости потока в сечениях 1 и 2;


S1, S2


– площади сечения 1 и 2.


Из уравнения следует, что средние по сечению скорости в потоке несжимаемой жид- кости обратно пропорциональны площадям сечений:


υср1 υср2


= S2 . (5.2)

S1


Средней по нормальному сечению скоростью потока ( υср ) называется одинаковая для всех точек сечения скорость, обеспечивающая действительный расход через это сечение:

Q


υср


= . (5.3)

S


Эпюры скоростей в нормальном сечении потока в трубе для ламинарного и турбу- лентного течений при одинаковом расходе, а также эпюра средней по сечению скорости при- ведены на рис. 5.2.

Нормальное сечение – это сечение, нормальное в каждой точке к скорости потока (жи- вое сечение).

 

ламин. турб.
υср
υmax

υ 1
S1 υср1
υср2
S3
υср3
S2
υ2
υ1
υ
X
υ

Рис. 5.1. Изменение скорости вдоль трубы Рис. 5.2. Эпюры скоростей

 

Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности в переменных Эйлера:


dp+ ρdiv u =

dt


qm . (5.4)


Если не учитывается сжимаемость жидкой среды, то мает вид


dp= 0 , и уравнение (5.4) прини-

dt


div u = dqm . (5.5)

ρ


 

 

или


При qm=0


 

div u = 0

 

ux uy uz


 

= 0.


 

 

(5.6)


x y z

5.1. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера)

При движении идеальной жидкости из поверхностных сил на нее действуют только силы давления, а к массовым силам добавляются силы инерции. При составлении баланса сил движущегося объема жидкости необходимо учитывать, что силы инерции направлены в сторону, противоположную направлению ускорения. Единичной силой инерции, приходя-


щейся на единицу массы жидкости, является ускорение


a = Fи


m . В гидростатике были вы-


ведены дифференциальные уравнения равновесия, включающие массовые силы и силы дав- ления и записанные для единицы массы жидкости в проекциях на оси координат. Прибавив в левой части каждого из уравнений системы соответствующую проекцию ускорения

a = du dt , взятую с обратным знаком (в соответствии с принципом ДיּАламбера), получаем

дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера):


X-1 ¶p -

ρ ¶x

1 ¶p


dux

dt

duy


= 0;ü

ï
ï

ï

ï


Y - -

ρ ¶y dt


= 0; ý

ï

ï


(5.7)


Z-1 ¶p -duz


= 0. ï


ρ ¶z dt ïþ

С учетом выражений для проекций ускорений уравнения (5.7) могут быть записаны в

виде


X - 1 ¶p= u


ux +u


ux +u


ux ux ü


ρ ¶x Y -1 ¶p

ρ ¶y

1 ¶p


x

= ux


x

uy

x

u


y

+ uy


y

uy

y

z
u


z

+ uz


z

uy

z

u


;

ï
t ï

ý
uy

t ï

u ï


 

 

(5.8)


Z - = ux


z +u


z +u


z + z . ï


y
ρ ¶z x


y z


t þ


В уравнениях Эйлера содержится 5 неизвестных величин: ux, uy, uz, p, r.

 



Дата добавления: 2016-10-07; просмотров: 1617;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.013 сек.