Уравнение неразрывности
Уравнение неразрывности
Основные уравнения гидродинамики выражают закон сохранения массы и закон со- хранения энергии для движущейся жидкости.
Закон сохранения массы для установившегося потока несжимаемой жидкости в канале с непроницаемыми стенками для условий сплошности (неразрывности) течения сводится к закону постоянства расхода вдоль канала и выражается уравнением объемного расхода (рис. 5.1):
где υср1 , υср2
Q = υср1 S1 = υср2 S2 = const , (5.1)
– средние скорости потока в сечениях 1 и 2;
S1, S2
– площади сечения 1 и 2.
Из уравнения следует, что средние по сечению скорости в потоке несжимаемой жид- кости обратно пропорциональны площадям сечений:
υср1 υср2
= S2 . (5.2)
S1
Средней по нормальному сечению скоростью потока ( υср ) называется одинаковая для всех точек сечения скорость, обеспечивающая действительный расход через это сечение:
Q
υср
= . (5.3)
S
Эпюры скоростей в нормальном сечении потока в трубе для ламинарного и турбу- лентного течений при одинаковом расходе, а также эпюра средней по сечению скорости при- ведены на рис. 5.2.
Нормальное сечение – это сечение, нормальное в каждой точке к скорости потока (жи- вое сечение).
ламин. турб. |
υср |
υmax |
υ 1 |
S1 υср1 |
υср2 |
S3 |
υср3 |
S2 |
υ2 |
υ1 |
υ |
X |
Рис. 5.1. Изменение скорости вдоль трубы Рис. 5.2. Эпюры скоростей
Уравнение неразрывности
Уравнение неразрывности в переменных Эйлера:
dp+ ρdiv u =
dt
qm . (5.4)
Если не учитывается сжимаемость жидкой среды, то мает вид
dp= 0 , и уравнение (5.4) прини-
dt
div u = dqm . (5.5)
ρ
или
При qm=0
div u = 0
¶ux +¶uy +¶uz
= 0.
(5.6)
¶x ¶y ¶z
5.1. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера)
При движении идеальной жидкости из поверхностных сил на нее действуют только силы давления, а к массовым силам добавляются силы инерции. При составлении баланса сил движущегося объема жидкости необходимо учитывать, что силы инерции направлены в сторону, противоположную направлению ускорения. Единичной силой инерции, приходя-
щейся на единицу массы жидкости, является ускорение
a = Fи
m . В гидростатике были вы-
ведены дифференциальные уравнения равновесия, включающие массовые силы и силы дав- ления и записанные для единицы массы жидкости в проекциях на оси координат. Прибавив в левой части каждого из уравнений системы соответствующую проекцию ускорения
a = du dt , взятую с обратным знаком (в соответствии с принципом ДיּАламбера), получаем
дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера):
X-1 ¶p -
ρ ¶x
1 ¶p
dux
dt
duy
= 0;ü
ï |
ï
ï
Y - -
ρ ¶y dt
= 0; ý
ï
ï
(5.7)
Z-1 ¶p -duz
= 0. ï
ρ ¶z dt ïþ
С учетом выражений для проекций ускорений уравнения (5.7) могут быть записаны в
виде
X - 1 ¶p= u
¶ux +u
¶ux +u
¶ux +¶ux ü
ρ ¶x Y -1 ¶p
ρ ¶y
1 ¶p
x
= ux
¶x
¶uy
¶x
¶u
y
+ uy
¶y
¶uy
¶y
z |
z
+ uz
¶z
¶uy
¶z
¶u
;
ï |
ý |
¶t ï
¶u ï
(5.8)
Z - = ux
z +u
z +u
z + z . ï
y |
¶y ¶z
¶t þ
В уравнениях Эйлера содержится 5 неизвестных величин: ux, uy, uz, p, r.
Дата добавления: 2016-10-07; просмотров: 1617;