Виды движения жидкости

ø

j + ¶k

j + u k.

¶x ¶y ¶z

x y z

Значение угловой скорости определяется как

ω2 + ω2 + ω2

x y z

ω = .

Проекция угловой деформационной скорости на ось 0у

ε = dθ2 . (4.14)

y dt

Подставляя выражение (4.11) в уравнение (4.14) и проводя аналогичные рассуждения для вращательного и деформационного движений частицы относительно осей 0х и 0z, полу- чаем систему уравнений для проекций угловой деформационной скорости жидкой частицы на оси координат:

ε x=

1 æ¶uz

çç

¶uy ö ü

+ ¸¸;ï

2 è¶y

¶z øï

ï

ε y=

1 æ¶uz

çç

¶uy ö ï

+ ¸¸;ý

(4.15)

2 è¶y

1 æ¶u

¶z øï

¶u öï

2 ç

y

è

ε z = ç ¶x+

x÷¸.ï

¶y øïþ

Движение, при котором вращение отсутствует (rotu = 0), называется безвихревым. Без- вихревое движение является потенциальным, так как для него существует некоторая функция

Ф = Ф(х, у, z, t), называемая потенциалом скорости, для которой

u = ¶Ф ,

x ¶x

u = ¶Ф ,

y ¶y

u = ¶Ф ,

z ¶z

причем время t входит в качестве параметра. При этом очевидно, что

¶uz

¶y

¶ux

¶z

¶uy

¶x

¶u

= y

¶z

=¶uz

¶x

=¶ux

¶y

=¶ Ф ;

¶y¶z

¶2Ф

= ;

¶x¶z

= ¶ Ф

¶x¶y

и, следовательно, ωx = ω y = ωz = 0 , т.е. ω=

rotu = 0 .

2

При потенциальном движении бесконечно малые объемы жидкости не имеют враще- ний, а совершают только поступательное и деформационное движения. Потенциальное дви- жение является наиболее распространенным, и в гидравлике рассматривают обычно такой вид движения.

В потенциальном движении используются следующие понятия: траектория движения частицы жидкости, линия тока, трубка тока, элементарная струйка.

Траекторией движения частицы называется путь, проходимый этой частицей. Так как проекции скорости

u = dx,

x dt

u = dy,

y dt

u = dz,

z dt

то дифференциальное уравнение траектории движения имеет вид

dx =dy =dz .

ux uy uz

Линией тока называется кривая, в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости жидкости совпадает с касательной к этой кривой. Бесконечно малый отрезок линии тока δl можно считать прямолинейным и совпадающим по направлению с вектором скорости. Если проекции отрезка δl на координатные оси обозначить через δх, δу и δz, то из геометрических представлений можно записать соотношения

ux =δx ,

u δl

uy =δy ,

u δl

. uz

u

=δz , δl

из которых получаем уравнение линии тока

δx =δy =δz .

ux uy uz

При неустановившемся движении линии тока в жидкости не совпадают с траектория- ми ее частиц. На рис.4.4. показаны линия тока в момент времени t1 и траектория частицы А1 с указанием ее вектора скорости в последующие моменты времени t2 и t3.

u1(t3)

А1(t3)

А1(t2)

u (t )

1 2

А1(t1)

u (t )

1 1

А2

u2(t1)

z

А3

u3(

x

В установившемся движении линии тока в жидкости совпадают с траекториями ее частиц, так как поле скоростей во времени не меняется.

Трубкой тока называется поверх- ность, образованная линиями тока, прове- денными в данный момент времени через все точки бесконечно малого замкнутого контура, расположенного внутри движу- щейся жидкости.

Жидкость, движущаяся внутри труб- ки тока, называется элементарной струй- кой. Элементарная струйка обладает сле- дующими свойствами:

1) частицы жидкости не выходят из элементарной струйки и не входят в нее че- рез боковую поверхность;

2) скорости частиц жидкости во всех точках одного и того же поперечного сече- ния одинаковы вследствие малости площа- ди поперечного сечения;

3) при установившемся движении форма элементарной струйки остается не- изменной во времени.

y

Рис. 4.4. Линия тока и траектория частицы жидкости в неустановившемся движении

t1)

Использование понятия "элементарная струйка" позволяет упростить рассмотрение движения жидкости. Выделяя в потоке реальной жидкости элементарные струйки, можно считать, что внутри струйки движется идеальная, т.е. невязкая, жидкость, что обусловлено свойствами элементарной струйки.

Живым сечением элементарной струйки, называется элементарно малая площадка dS,

представляющая собой поперечное сечение струйки в плоскости, нормальной к линиям тока.

Расходом элементарной струйки называется количество жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение элементарной струйки. В зависимости от единицы из- мерения количества жидкости расход может быть объемным или массовым. Объемный рас-

ход элементарной струйки dQ определяется выражением

dQ = u dS, (4.16)

где и - скорость жидкости в данном живом сечении элементарной струйки площадью dS.

Массовый расход элементарной струйки

dQm = r u dS. (4.17)

Из дифференциальных уравнений (4.16) и (4.17) следует, что

dQm= r dQ.

Потоком жидкости называется движение определенного объема жидкости, ограни- ченное в общем случае системой твердых, жидких или газообразных тел. Потоки подразде- ляют на напорные, безнапорные и струи.

Напорным называется поток, ограниченный со всех сторон твердыми стенками и дви- жущийся под действием гидродинамического давления и силы тяжести. Примером напорного потока является движение жидкости по трубопроводу под давлением, создаваемым насосом или напорным баком.

Безнапорным называется поток, ограниченный твердыми поверхностями не со всех сторон, имеющий по всей длине свободную поверхность и движущийся только под действи- ем силы тяжести. Примером безнапорного потока является движение жидкости в каналах, а также в трубах при неполном их заполнении.

Струей называется поток, не имеющий твердых поверхностей, ограничивающих его. Если струя движется в жидкости, то она называется затопленной, если в газе — незатоплен- ной.

Живым сечением потока называется поверхность, к каждой точке которой линии тока направлены по нормали. При равномерном или плавно изменяющемся движении живое се- чение потока является плоским. Площадь живого сечения потока S – один из основных гид- равлических параметров.

Смоченный периметр c – это длина контура живого сечения потока по твердым стен- кам, ограничивающим поток.

Отношение площади живого сечения потока к его смоченному периметру называется

гидравлическим радиусом:

г

R = Sχ.

Эквивалентным диаметром называется величина, равная четырем гидравлическим радиусам:

dэкв = 4 Rг (4.18)

Понятие эквивалентного диаметра позволяет представлять потоки, имеющие произ- вольную форму живого сечения, в виде потоков, у которых живое сечение является круглым.

Средняя скорость потока – это фиктивная скорость в предположении, что все части- цы жидкости передвигаются с одинаковой скоростью.