Равновесие капельной жидкости во вращающемся сосуде
Равновесие жидкости в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси, реализуется лишь при постоянной угловой скорости вращения w = const (рис. 3.2).
По истечении достаточного времени после начала вращения жидкость приобретает ту же скорость вращения, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменяется: в централь- ной части уровень жидкости понизится, у стенок – повысится и вся свободная поверхность станет некоторой поверхностью вращения (рис. 3.2, а). На жидкость в этом случае будут дей- ствовать две массовые силы: сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесен-
ными к единице массы, соответственно равны g и w²r.
При проецировании на оси координат равнодействующей массовых сил (рис. 3.2, б)
получим выражения
X = w2r cos a= w2x ;Y = w2r´sin a = w2y ; Z = – g.
Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получаем
dp = ρ (w2 x dx +w2 y dy – gdz),
или
dp = ρ (w2 r dr – g dz).
После интегрирования находим
ω2 r2
p = ρ
-ρ g z + C . (3.6)
Подставляя в уравнение (3.6) граничные условия r = 0, z = z0 и p = p0, находим посто- янную интегрирования
C = р0+ ρ g´z0.
Тогда закон распределения давления можно выразить формулой
2r2
p = p0 + ρ ω2
+ ρg (z0 - z) , (3.7)
т. е. в этом случае также справедлив линейный закон распределения давления по глубине. Изменение давления по радиусу подчиняется параболическому закону. Полагая p = const, из выражения (3.6) получим уравнение поверхностей уровня:
ω2 r2
p = ρ
- ρ gz + C1. (3.8)
z |
p0 |
r |
´ |
ω r |
g |
j |
O |
ω=const |
O |
r x |
α |
y |
y |
x
а б
Рис. 3.2. Относительное равновесие жидкости в равномерно вращающемся цилиндрическом сосуде
Эти поверхности уровня представляют собой параболоиды вращения. Одним из таких параболоидов является свободная поверхность жидкости.
Так как в вершине параболоида свободной поверхности r = 0, z = z0, C1= ρ g´z0,то уравнение свободной поверхности примет вид
Зависимость
z - z0=
ω2r2
2g
. (3.9)
z - z0 = Dh =
ω2r2
2g
(3.10)
при постоянном радиусе (r = const) устанавливает связь между величиной возвышения Dh
любой точки, расположенной на свободной поверхности над точкой, лежащей на оси враще- ния, и угловой скоростью w. Она позволяет определить число оборотов цилиндра, если из- вестно превышение Dh , что и используется при конструировании жидкостных тахометров, с помощью которых измеряется число оборотов вала.
Угловая скорость определяется по выражению
w = 2´p´ n/ 60 = p´ n/ 30. Отсюда формула для определения числа оборотов:
n = 30´ w/ p.
Из выражения (2.10) следует
Следовательно,
ω = .
2gDh |
30 2gDh |
p r
Максимальное превышение точек с радиусом R над точкой, лежащей на оси вращения, обозначим Dhmax, тогда
где R – радиус сосуда.
n = ,
30 2gDhmax |
Равновесие газов
Равновесие газа называется баротропным, если плотность газа может рассматривать- ся как функция только давления (r = r(р)). Если плотность газа является функцией давления и температуры (r = r(р, Т)). то равновесие газа называется бароклинным.
Рассмотрим два случая баротропного равновесия газа в поле сил тяжести. В изотер- мическом процессе температура во всех точках газа одинакова (Т = T0 = const) и уравнение состояния может быть представлено в виде
ρ = ρ0
р , (3.11)
р0
где r – плотность газа при давлении р; r0 – плотность газа при давлении p0 в точке Z0.
Так как проекции единичных массовых сил на координатные оси X = 0, Y = 0 и Z = –g, то дифференциальное уравнение равновесия (3.11) принимает вид
dp = – r g dz, (3.12)
Подставляя уравнение состояния (3.11) в дифференциальное уравнение равновесия (3.12), получаем
dz = -
Интегрируя уравнение (3.13), находим
p0
ρ0g
dp . (3.13)
p
z = -
p0
ρ0g
ln p + C . (3.14)
z = z0:
Значение постоянной интегрирования С находим из граничных условий р = р0при
p0
C = z0 +
ρ0g
ln p0
(3.15)
Подставляя значение С из уравнения (3.15) в (3.14) и обозначая высоту рассматривае- мой точки над точкой Z0 Н = z – Z0, получаем
ln pp0
=-ρ0 gH ,
p0
откуда находим закон изменения давления в газе при изотермическом процессе:
p = p0 exp(- ρ0 gH / p0 ).
В адиабатном процессе нет теплообмена с окружающей средой и уравнение состояния газа принимает вид
æ
ρ = ρ0çç
p ök
¸¸
, (3.16)
è p0 ø
где k — показатель адиабаты, равный отношению удельных теплоемкостей газа при постоян- ном давлении ср и постоянном объеме cv.
Подставляем уравнение состояния (3.16) в дифференциальное уравнение равновесия
(3.13), получаем
( p )1k 1
dz = - 0 p
ρ0g
kdp . (3.17)
Интегрируя дифференциальное уравнение (3.17), находим
k ( p
)1k
k -1
z =
k -1
0 pk
ρ0g
+ C1
(3.18)
Значение постоянной интегрирования С1; находится из граничных условий р = р0 при
z = Z0:
k ( p
)1k
k -1 k p
C1 = z0 +
k -1
0 pk
ρ0g
= z0+
0 .
k -1 ρ0 g
k |
ú |
æ 1 ö
é k -1 ù
H = k
-
çp0
ç
-( p0 ) k
k -1
p k ¸=
¸ -
p0 ê1
ê
æ
- çç
p ök
¸¸ ú,
k 1 èρ0g
ρ0g
ø k 1 ρ0 g êë
è ρ0 ø úû
откуда находим закон изменения давления газа при адиабатическом процессе:
¸ |
æ k ρ
gHök -1
p = p0 çç1-
0 ¸ .
è k -1
p0 ø
Дата добавления: 2016-10-07; просмотров: 1541;