Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью

Относительное равновесие жидкости. Равновесие жидкости под действием сил тяжести и инерции

Когда жидкость покоится в неподвижном относительно Земли сосуде или в сосуде, движущемся равномерно и прямолинейно, на нее действует только одна массовая сила – ее собственный вес. Этот случай равновесия жидкости называется абсолютным покоем.

Если же сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном дви- жении, то на все частицы жидкости, помимо собственного веса, действуют еще силы инер- ции переносного движения. Под действием этих сил жидкость как-то перемещается в сосуде, и если эти силы постоянны во времени, то жидкость принимает новое положение равновесия, т. е. становится неподвижной относительно стенок сосуда. Этот случай равновесия жидкости называется относительным покоем.

При относительном покое свободная поверхность жидкости и другие поверхности уровня могут существенно отличаться от поверхности уровня при покое жидкости в непод- вижном сосуде, т. е. от горизонтальной поверхности. Для определения формы и положения свободной поверхности жидкости в относительном покое руководствуются основным свой- ством всякой поверхности уровня, которое заключается в том, что равнодействующая массо- вая сила всегда действует нормально к поверхности уровня.

Выбирая систему координат, жестко связанную со стенками сосуда, приходим к стати- ческой задаче, основой для решения которой служит дифференциальное уравнение равнове- сия жидкости:

dp = ρ(X dx + Y dy + Z dz), (3.1)

где x, y, z – координаты точек жидкости в системе отсчета, связанной с сосудом;

p – давление в жидкости;

ρ – плотность жидкости;

X, Y, Z – проекции единичной массовой силы на координатные оси.

Для определения формы поверхности уровня и характера распределения давления в этом сосуде следует в число действующих массовых сил включить также силы инерции.

Существуют два состояния относительного покоя жидкости:

– в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно;

– в сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси.

Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью

Сосуд с жидкостью движется с ускорением a вдоль прямой, наклоненной к горизонту под углом a (рис. 3.1).

z

p0

´

M

j

x

Θ

a

α

g

z0 0(y)

α

К массовым силам j = - a, наряду с силой тяжести в данном случае относится еще и сила инерции, направленная проти- воположно ускорению сосуда. В системе координат (рис. 3.1) проекции единичных массовых сил будут равны

X = j - g´sin a ;

Y = 0 ;

Z = - g´cos a.

Подставляя эти выражения в урав- нение равновесия (3.1), получаем

dp = r [(j - g´sin a)dx - g´cos a dz],

а после интегрирования

p = r (j - g´sin a)´x - r g´cos a´z + C,

Рис. 3.1. Относительное равновесие жидкости при

прямолинейном равноускоренном движении сосуда

(3.2)

где С – постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий на свободной по- верхности при x = 0, z = z0 и p = p0.

После подстановки граничных условий получаем закон распределения давления:

p = р0+ r (j - g´sin a)´x + r ´g´cos a´(z0- z). (3.3) Так как на поверхности уровня давление одинаково в любой ее точке, полагая в урав-

нении (3.2) p = const, получаем уравнение поверхностей уровня

r ( j - g´sin a)´x - r ´g´cos a´z + C1 = 0. (3.4) Уравнение (3.4) дает семейство плоскостей, параллельных оси Y. Одной из этих плос-

костей является свободная поверхность.

Подставляя в формулу (3.4) граничные условия x = 0 и z = z0, находим

C1= r ´g´z0´cos a.

Уравнение свободной поверхности имеет вид

j - g sin a

где

j - g sin a =tgq.

g cos a

z - z0 =

g cos a

x , (3.5)