Дуальные и двойные числа
(ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).
Опишем все ассоциативные алгебры над полем размерности 2.
Нетрудно устанавливается, что множества и образуют ассоциативные алгебры, которые договоримся называть алгебрам двойных чисел и дуальных чисел соответственно.
Теорема. Любая коммутативная ассоциативная алгебра с единицей над полем действительных чисел размерности 2 изоморфна одной из из алгебр , , .
Доказательство
Пусть , где - коммутативная ассоциативная алгебра с единицей . Рассмотрим . Нетрудно устанавливается, что изоморфно полю . Тогда, с точностью до изоморфизма, можно утверждать, что ( подполе поля А). Последнее означает, что в найдется элемент такой, что система образует базис алгебры над полем .
для некоторых .
. Возможны случаи:
1. . Существует положительное действительное число такое, что
Тогда - система порождающих в . Покажем, что - базис в . Предположим, что . Таким образом .
2. . Аналогично устанавливается, что - базис в . Следовательно, .
3. . Существует положительное действительное число такое, что
Тогда - система порождающих в . Аналогично устанавливается, что - базис в . Следовательно, .
Замечание. Наличие единицы позволяет включить в , а ассоциативность и коммутативность позволяют выполнять действия, указанные выше.
что и требовалось доказать.
Теорема. Алгебры , не являются полями.
Доказательство
Предположим, что элемент обратим. Тогда существует элемент такой, что . Последнее противоречит линейной независимости элементов . Следовательно, предположение об обратимости элемента оказывается ложным, а, значит, не является полем.
Аналогично устанавливается необратимость элемента . Тогда также не является полем.
что и требовалось доказать.
Теорема. Алгебры , существуют.
Доказательство
. Тогда , . Таким
образом .
. Тогда , . Таким
образом .
что и требовалось доказать.
Замечание. Алгебры , и являются подалгебрами алгебры .
Алгебра Кэли
(Неассоциативная альтернативная алгебра с делением).
, где .
На множестве зададим операции по следующим правилам:
для любых и .
Теорема. -восьмимерное линейное пространство над полем , базисом которого является следующая система: .
Замечание. .
Доказательство.
Покажем, что - линейное пространство над полем .
Сложение в коммутативно и ассоциативно в силу коммутативности и ассоциативности сложения в .
Нейтральный элемент по сложению в имеет вид: .
Противоположным к является элемент .
Таким образом - аддитивная Абелева группа, в которой для и однозначно определено умножение на скаляр , удовлетворяющее следующим аксиомам:
для любых и .
Согласно определению, - линейное пространство над полем .
По теореме о последовательном расширении полей, имеем
.
что и требовалось доказать.
Определим в умножение по следующему правилу:
, где - кватернионы, сопряженные к , .
Теорема. -восьмерная алгебра с делением над полем .
Доказательство.
Первоначально покажем, что алгебра не является ассоциативной.
. Рассмотрим кватернионы . не является ассоциативной.
Легко самостоятельно проверить, что в алгебре справедливы дистрибутивные законы: и ; умножение удовлетворяет следующему условию: для любых и ; - нейтральный элемент по умножению.
Определим в алгебре для элемента сопряженный элемент , где - сопряженный к в теле кватернионов. В справедливы следующие свойства:
для любых .
Нормой элемента договоримся называть . Причем
В справедливы следующие свойства:
1. т.т.т., к. ;
2. ;
3. ;
4. .
для любых .
Замечание.Из свойств т.т.т., к. и следует, что если , то либо , либо .
Согласно вышеприведенному замечанию, в алгебре отсутствуют делители нуля.
Убедимся, что алгебра с делением. Рассмотрим уравнение , где . Элемент является решением данного уравнения. Проверим это.
. Аналогично устанавливается, что элемент является решением данного уравнения , где .
что и требовалось доказать.
Определение.Алгебра над полем называется альтернативной, если выполняется следующие аксиомы:
для любых .
Теорема.Алгебра над полем является альтернативной.
Замечание. Алгебра над полем является альтернативной, но не ассоциативной. В классе всех альтернативных алгебр лежат и ассоциативные.
Дата добавления: 2022-04-12; просмотров: 184;