Умножение натуральных чисел.
Определение. Умножением натуральных чисел называется соответствие , удовлетворяющее следующим условиям:
1. ;
2. .
Назовем условия 1 и 2 аксиомами умножения.
Теорема 2.Умножение на множестве натуральных чисел является бинарной операцией, существует и притом единственное.
Доказательство.
- бинарная операция (?)
Докажем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по , что является отображением.
База индукции :
и определено и однозначно.
Индуктивное предположение :
Пусть определено и однозначно.
Покажем справедливость утверждения для :
определено и однозначно (?)
. Поскольку определено и однозначно, а - операция, также определено и однозначно.
Также методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по устанавливает существование и единственность операции .
Операция единственна (?)
Предположим, что наряду с операцией существует операция , удовлетворяющая аксиомам сложения:
1. ;
2. .
База индукции :
.
Индуктивное предположение :
Пусть .
Покажем справедливость утверждения для :
(?)
, что противоречит предположению.
Таким образом, , следовательно, .
Операция существует (?)
Рассмотрим систему множеств , где . Индукцией по докажем, что существует отображение , удовлетворяющее следующим условиям:
1. ;
2. .
База индукции :
Определим по правилу:
.
Очевидно, что таким образом определенное существует, причем
1. ;
2. .
Индуктивное предположение :
Пусть существует и удовлетворяет условиям:
Покажем справедливость утверждения для :
(?)
Определим по правилу:
.
Определим операцию по правилу . Доказано, что существует и удовлетворяет аксиомам умножения, следовательно, существует и отображение , удовлетворяющее аксиомам умножения.
что и требовалось доказать.
Замечание. Поскольку операция , удовлетворяющая аксиомам умножения, единственна на множестве натуральных чисел, для нее введем специальный символ , т.е. .
Свойства операции умножения на множестве натуральных чисел:
1) .
Доказательство.
.
2) .
Доказательство.
.
3) (дистрибутивность).
Доказательство.
Проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .
База индукции :
.
Индуктивное предположение :
Покажем справедливость утверждения для :
(?)
.
4) (ассоциативность).
Доказательство.
Проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .
База индукции :
.
Индуктивное предположение :
Покажем справедливость утверждения для :
(?)
.
5) (коммутативность).
Доказательство.
Проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .
База индукции :
.
Индуктивное предположение :
Покажем справедливость утверждения для :
(?)
.
6) (закон сокращения).
Доказательство. см 8) свойство отношения на .
Дата добавления: 2022-04-12; просмотров: 187;