Оцифровування аналогових сигналів

Для використання сучасних засобів обробки сигналів, поряд з дискретизацією за часом, використовується дискретизація за рівнем. Цей спосіб дискретизації, який часто називають квантуванням за рівнем, полягає у тому, що безперервна множина значень рівнів замінюється дискретною з кроком Dx (рис. 1.10).

Рис.1.10.

Фактично квантування за рівнем представляє собою округлення значень x(nT) функції x(t) з заданою точністю. Квантування за рівнем може бути як рівномірним, так і нерівномірним. При рівномірному квантуванні кількість можливих рівнів m дорівнює:

,

(1. 9)

де х_max , х_min – відповідно, верхня і нижня межа зміни сигналу x(t).

Величина Dх визначає похибку, що має місце при заміні поточного значення x(t) його дискретним рівнем і × Dх = х_{і .} Ця похибка, що знаходиться за формулою:

j(х) = х(nT) – х_і ,

називається шумом квантування. Якщо при квантуванні за рівнем будь-якому значенню змінної x(t), що попадає в інтервал , присвоюється рівень х_і , то похибка j(х)не перевищуватиме половини кроку квантування, тобто:

.

У теорії сигналів широко використовується імовірнісна оцінка шумів квантування.

Важливою характеристикою будь-якого сигналу є його інформативність, яка визначається кількісною характеристикою інформації. Для її визначення розглянемо спрощену дискретну модель реального сигналу, заданого на інтервалі часу Т_с і квантованого за часом і за рівнем.

Використовуючи умови теореми Котельникова, знайдемо приблизну кількість дискретних за часом значень функції:

,

де f_max – максимальна частота в спектрі сигналу.

Кількість можливих рівнів квантування m визначається формулою (1.9). Оскільки в кожний дискретний момент часу сигнал може приймати одне зm можливих значень, то за час Т_скількість можливих комбінацій сигналу дорівнює:

С_с = m ⁿ.

Число C_c дає комбінаторну оцінку кількості інформації, що міститься у дискретному сигналі. Недолік використання C_c в якості міри інформації полягає в нелінійній його залежності від величини n, тобто від тривалості інтервалу T_c . Тому в якості міри кількості інформації використовується логарифмічне перетворення від C_c :

I = log _b C_c = n log _b m ,

в якому маємо лінійну залежність між вказаними параметрами. Вибір параметра b впливає лише на розмірність, тобто на одиницю виміру кількості інформації. Найчастіше приймають b = 2, при цьому I вимірюється у бітах (binary digit). Один біт – це найменша кількість інформації, що відповідає одному з рівноможливих повідомлень(так-ні; ввімкнути-вимкнути тощо). Повідомлення, в якому міститься набір з декількох бітів, називається словом. Слово з 8 біт називається байтом. Якщо, наприклад, допустити, що кількість рівнів квантуванняm описується словом в один байт, то це означає, що весь діапазон рівнів х_max – х_min розбивається на m = 2⁸ = 256 кроків, функція визначатиметься з похибкою і в кожний дискретний момент часу може передаватися повідомлення про одне з її 256 можливих значень.

Широко використовуються більші одиниці кількості інформації – кілобайт (2¹⁰ біт), мегабайт (2²⁰ біт), гігабайт (2³⁰ біт).

Звернувшись знову до процесу перетворення сигналів і прийнявши за “1” наявність короткочасного імпульсу, а за “0” – його відсутність, кожен відлік сигналу (рис. 1.10) можна передати у вигляді комбінації одиниць та нулів. Процес перетворення повідомлення у дискретний сигнал називається кодуванням інформації, а множина різних кодових комбінацій, що отримуються при вибраному правилі кодування – кодом.

Оскільки сигнали передаються переважно за допомогою провідників, то слово в один байт може передаватись по двохпроводній лінії як послідовність “1” та “0” у визначені дискретні моменти часу. При цьому як передавач інформації, так і приймач повинні працювати в узгодженому дискретному часі. Така форма передачі інформації називається послідовною (послідовний формат) і використовується при довгих лініях зв’язку. При коротких лініях використовується паралельна форма, при якій для кожного біта слова, що передається, використовується свій провідник (паралельний формат).

Більшість сучасних систем обробки цифрової інформації опрацьовують слова, що вміщують ціле число байтів, – наприклад 1, 2, 4.

У той же час, при вирішенні нескладних задач часто використовуються слова, що є напівбайтовими (чотирьохрозрядними). Іноді використовуються навіть трьохрозрядні слова і числа.

Системи числення

Система числення – це спосіб запису (зображення) чисел.

Системи числення, в яких ваговий коефіцієнт кожної цифри залежить від її положення у послідовності цифр, що зображає число, називаються позиційними. У непозиційних системах значення кожної цифри постійне і не залежить від місця її розташування в числі. Всі системи числення, які використовуються в цифровій схемотехніці, є позиційними.

При розгляді позиційних систем важливим виступає поняття базису. Базис системи числення – це послідовність чисел, яка задає значення (вагу) кожної цифри в залежності від місця її розміщення.

Приклади базисів:

· десяткової системи числення: 10⁰, 10¹, 10², ..., 10ⁿ, ...;

· двійкової – 2⁰, 2¹, 2², ..., 2ⁿ, ...;

· вісімкової – 8⁰, 8¹, 8², ..., 8ⁿ, ...;

· шістнадцяткової – 16⁰, 16¹, 16², ..., 16ⁿ, ...

У загальному плані для позиційних систем числення базис можна записати в вигляді послідовних членів геометричної прогресії:

...Р ^{– m}, ..., Р ^{– 2}, Р ^{– 1}, Р⁰, Р¹, Р², ..., Рⁿ, ...

Число Р називається основою системи числення. У подальшому при розгляді систем числення основа зображатиметься у вигляді нижнього індексу в кінці числа.

Сукупність різних цифр, які використовуються в позиційній системі числення для запису чисел, називається алфавітом системи.

Будь-яке натуральне число А в Р-ічній системі числення записується у розгорнутій і згорнутій формах запису. Наприклад, число А в Р-ічній системі числення представляється в згорнутій формі так:

А = (а_n а_{n – 1} …а₁ а₀ а_-1 а_-2 …а_-k)_P ; (1.10)

у розгорнутій:

А = а_n × Рⁿ + a_n-1 × P^n-1 + … + a₁ × P¹ +

+a₀ × P⁰ + a_-1 × P^-1 + a_-2 × P^-2 + … + a_-k×P^-k (1.11)

Приклад 1.1. Представимо конкретне число А в згорнутій і розгорнутій формах десяткової системи числення.

Розв’язання. Запис числа А в згорнутій формі: А = 837,25₁₀ ;

в розгорнутій формі: А = 8 × 10² + 3 × 10¹ + 7 × 10⁰ + 2 × 10^-1 + 5 × 10^-2.

Приклад 1.2. Запис числа 61₁₀ в різних системах числення.

Розв’язання. Запис числа 61₁₀ у двійковій системі числення – 111101₂ ;

у трійковій – 2021₃ ;

у четвірковій – 331₄ ;

у шістнадцятковій – 3D₁₆ ;

з основою 61 – 10₆₁.

Кількість цифр в алфавіті Р-ічної системи числення дорівнює основі системи числення, починаючи з нуля. Тому алфавітом Р-ічної системи числення є натуральний ряд чисел від нуля до Р^і-1. В якості алфавіту систем числення прийнято використовувати:

· арабські числа, якщо основа менше 10;

· арабські числа і букви латинського алфавіту при основі до 36.

Якщо основа більше 36, то загальних правил не існує.

Приклад 1.3. Приведіть алфавіт шістнадцяткової системи числення.

Розв’язання. Алфавіт шістнадцяткової системи числення має вигляд: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.