Формулы Эйлера. Приложения степенных рядов.

Если известно разложение в ряд по степеням z некоторой функции f(z), то из него легко получить разложение в степенной ряд любой функции вида , где k и m – некоторые натуральные числа.

Формулы Эйлера

Пользуясь разложением в степенной ряд функции , приведенное в конце предыдущей лекции, запишем разложение функции

Нетрудно убедиться, что для степеней мнимой единицы i справедливы следующие равенства: четные степени , нечетные степени . Таким образом, разбив ряд на сумму 2 рядов, по четным и нечетным степеням, получим

.

Отсюда, учитывая разложение в ряд функций и , получим представление

(1)

Этой формулой (при вещественном ) мы пользовались еще для представления комплексных чисел в показательной форме, теперь она получила свое обоснование. Подставив в (1) -z вместо z , получим

(1a)

Взяв полусумму и полуразность формул (1) и (1а), получим

, (2)

. (3)

Формулы (1), (2), (3) носят название формул Эйлера.

В частности, подставив z=ix (где x – вещественное), получим

,

. . Вещественные функции вещественной переменной ch(x) и sh(x) называются гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.

Например,

(Вспомните, что я писал на прошлой лекции о возможном нарушении известных неравенств при комплексных значениях переменной.)

Вычисление значений функции.

Фактически мы умеем выполнять над числами только простейшие арифметические операции: сложение, вычитание, умножение (как следствие, возведение в натуральную степень и деление). Разложение функции в степенной ряд позволяет свести вычисление значения этой функции в любой точке из области сходимости получившегося ряда к этим операциям. Действительно, подставив в степенной ряд нужное значение аргумента, получим числовой ряд, сумму которого можно вычислить с любой заданной точностью.

Пример.Вычислить значение (естественно, угол выражен в радианах). Используем приведенное в конце прошлой лекции разложение

Отсюда

Получившийся числовой ряд является знакочередующимся с монотонно убывающими членами, поэтому погрешность суммы ряда не превосходит модуля первого отброшенного члена. Таким, образом с погрешностью, не превосходящей .

Вычисление определенного интеграла.

Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница не получается, если для подынтегральной функции не удается найти первообразную. Если при этом подынтегральную функцию удается представить в виде степенного ряда, сходящегося на интервале интегрирования, то можно воспользоваться правилом интегрирования степенных рядов.

Пусть функция и интервал (A; B) находится внутри области сходимости этого ряда. Тогда

= .

Получившийся числовой ряд автоматически является сходящимся. Вычислив его сумму с заданной точностью, получим значение интеграла.

Пример.Вычислить . Данный интеграл непосредственно не вычисляется, так как первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции. Воспользуемся известным рядом для представления функции и подставим в него в качестве аргумента . Получим . Отсюда находим

= =

Получившийся ряд – знакочередующийся с монотонно убывающим общим членом и первый не выписанный явно член будет явно меньше по модулю, чем 0.001, поэтому выписанная сумма чисел представляет собой значение интеграла с точностью до 0.001.