ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ.

Описать движение газа или жидкости гораздо труднее, чем решить задачу гидростатистики, поэтому теория движения жидкостей и газов появилась относительно недавно. Хотя гидроаэродинамика основана на трёх хорошо знакомых в механике законах сохранения массы, импульса и энергии, их формулировки здесь выглядят немного сложнее. Например, определение закона сохранения массы обычно выглядит так: масса системы тел остаётся неизменной. Для жидкости, текущей в трубе, этот закон используют в такой форме (называемой уравнением неразрывности):

vS = const.

Здесь v – скорость жидкости S – площадь сечения трубы, по которой течёт жидкость. Сформулировать этот закон можно и так: сколько вливается жидкости в ёмкость, в данном случае в трубу, столько должно и выливаться, если условия течения не изменяются. Скорость в узких участках трубы должна быть выше, чем в широких.

Если посмотреть, как равномерно поток воздуха обтекает крыловой профиль дозвукового самолёта, то видно, что снизу не очень сильно искажены линии тока (линии, касающиеся вектора скорости потока); там увеличение скорости незначительно. Верхняя сторона гораздо сильнее изменяет течение воздуха – там линии тока сжимаются и скорость заметно больше, чем в самом потоке.

Одно из важнейших уравнений гидромеханики было получено в 1738 г. швейцарским учёным Даниилом Бернулли (1700 – 1782).

ДАНИИЛ БЕРНУЛЛИ (1700 – 1782) в 1716 году окончил Базельский университет, получил степень магистра философии, а в 1721 году получил степень лиценциата медицины. В 1724 году издал первую крупную работу «Математические упражнения». Основная её часть посвящена задаче истечения воды из сосуда. С медицинской точки зрения Бернулли интересовали вопросы определения скорости жидкости (крови) в кровеносных сосудах, влияние величины кровяного давления на характер этого движения и т.д. В медицине молодой Даниил черпал разнообразие задач, проникал в их физическую сущность, полуинтуитивно отыскивал оптимальный подход к их решению. Однако смысл задач был чисто гидродинамическим. В 1725 году вместе с группой других иностранных учёных был приглашён в Петербургскую академию наук. До 1830 года он работал на кафедре физиологии, а в 1730 – 1733 гг. руководил кафедрой чистой математики. В 1733 г. Даниил Бернулли вернулся в Базель и возглавил в университете кафедру анатомии и ботаники, а с 1750 г. – кафедру опытной физики, которой руководил до самой смерти.

Основные научные интересы Даниила Бернулли – гидродинамика, кинетическая теория газов и теория колебаний. Он обосновал закон Бойля – Мариотта, предложил дифференциальное уравнение колебаний струны и нашёл его решение в виде бегущих волн. В своём главном труде «Гидродинамика, или Изъяснение сил и движений жидкости», а также в ряде мемуаров Даниил Бернулли развил представления Лейбница о живых силах (на современном научном языке это понятие соответствует кинетической энергии). Ему впервые удалось описать движение идеальной жидкости (силы трения между элементами идеальной жидкости, а также между идеальной жидкостью и стенками сосуда отсутствуют). Уравнение стационарного движения, носящее его имя, имеет вид:

где p – давление жидкости, r - её плотность, v – скорость движения, g – ускорение свободного падения, h – высота, на которой находится элемент жидкости.

Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии и условие неразрывности течения идеальной жидкости. Так же как и для уравнения неразрывности, предполагается, что жидкость течёт в некоторой трубе (или трубке тока), сечение её меняется плавно и со временем картина течения не меняется (стационарное течение). За время Dt элемент жидкости массой Dm = = DS₁v₁Dt = DS₂v₂Dt спустился с уровня h₁ на уровень h₂,а его скорость увеличилась с v₁ до v₂. Приращение кинетической энергии элемента жидкости равно

Изменение потенциальной энергии того же элемента составляет:

Работа сил давления, совершённая над элементом жидкости при его перемещении, равна

Запишем закон сохранения энергии:

После подстановки и сокращений получим:

или

В этом уравнении все слагаемые имеют размерность давления и соответственно называются: p – статистическое давление, – динамическое, rgh – весовое давление. Можно отметить, что при отсутствии скорости уравнение Бернулли превращается в гидростатическую формулу. Изменение скорости, согласно второму закону Ньютона, происходит под влиянием силы, которая действует на жидкость, в данном случае это либо сила тяжести mg, либо разность давлений, действующих на объем текущей жидкости. В уравнении Бернулли есть три слагаемых: - кинетическая энергия единицы объёма движущей жидкости; rgh – потенциальная энергия единицы объёма жидкости. Эти два слагаемых точно такие, как в уравнения сохранения энергии материальной точки. Специфика гидромеханики проявляется в присутствии давления p – перепад давлений в разных частях трубы (или трубки тока) заставляет жидкость двигаться с ускорением, и именно поэтому в формуле Бернулли помимо кинетической и потенциальной энергий единицы объёма жидкости присутствует ещё и давление.

Следовательно, если труба (или трубка тока) устроена так, что давление остаётся в ней постоянным, уравнение Бернулли для жидкости просто совпадает с законом сохранения энергии для материальной точки. Если же труба устроена так, что можно не учитывать изменение высоты h (в силу малой плотности вещества или малого изменения этой высоты), то результат получится несколько неожиданным. В соответствии с уравнением неразрывности скорость в узких участках трубы растёт, – значит, там должно падать давление. Это естественный результат, поскольку рост скорости (ускорение) может быть обеспечен только за счёт перепада давления и в том месте, где скорость большая, давление должно быть мало. Поэтому при прокачке жидкости через трубу под большим давлением пословица «Где тонко, там и рвётся» работает с точностью да наоборот. Максимальное давление в трубах устанавливается именно в месте, где труба имеет наибольшее сечение, здесь её материал может не выдержать и разорваться. Узкие части трубы в этом отношении безопасны, но в них давление может упасть настолько, что жидкость закипит, – это тоже приводит к разрушению материала трубы.

Уравнение Бернулли просто объясняет множество явлений, происходящих в жидкости и газе. Вспомните, например, крыло самолёта, которое обтекает равномерный поток воздуха. Даже при отсутствии у крыла угла атаки, т.е. наклона по направлению к набегающему потоку, существует подъёмная сила, направленная вверх. Откуда же она берётся? Именно благодаря такой форме крыла в соответствии с уравнением неразрывности получается, что скорость воздуха под крылом меньше, чем над ним. Согласно уравнению Бернулли, это означает, что давление снизу крыла больше, чем давление сверху. Разность давлений и создаёт подъёмную силу.

Капитаны морских и речных судов прекрасно знакомы с коварным проявлением уравнения Бернулли. Если два корабля идут параллельным курсом слишком близко один к другому, возникает гидродинамическая сила, толкающая их друг к другу, в результате чего может произойти кораблекрушение. Формула Бернулли позволяет понять, почему возникает эта сила. Из закона неразрывности следует, что относительная скорость воды между судами будет больше, чем снаружи. Это проявится в том, что давление воды на корабли в пространстве между ними окажется ниже, чем извне. Именно перепад давления по разные стороны кораблей создаёт силу, толкающую их друг к другу.

Явление кавитации (от латинского cavitas – «углубление», «полость») также объясняется уравнением Бернулли. Если скорость течения по какой-либо причине значительно возрастает, то давление сильно понизится – настолько, что жидкость закипит. Такую скорость можно получить, если пропускать жидкость через очень узкий участок трубы. Большие скорости создаются и при быстром обращении корабельного винта. Процесс образования полостей (пузырьков) в движущейся жидкости вследствие понижения давления и называется кавитацией. Казалось бы, безобидных пузырьков нечего опасаться, однако вскоре они попадают в области жидкости с нормальным давлением и там схлопываются. Это схлопывание сопровождается гидродинамическими эффектами, способными привести к разрушению корабельного винта, или трубы, по которой протекает жидкость.

Закон Бернулли позволяет измерять скорость движения жидкости или газа с помощью манометра (от греческого «манос» - «редкий», «неплотный» и «метрео» – «измеряю») – прибора для определения давления жидкостей и газов.

Можно вычислить, с какой скоростью вода будет выливаться из широкого сосуда, если около дна сосуда сделать небольшое отверстие; . Эта формула, известная как закон Торричелли, также следует из уравнения Бернулли.

Несложные эксперименты, которые объясняются с помощью закона Бернулли, легко провести в домашних условиях. Например, если направить струю воды из водопроводного крана вертикально вверх (с помощью резиновой трубки) и поместить в неё шарик для настольного тенниса, то он будет удерживаться на вершине фонтанчика. Струю воды можно заменить струёй воздуха, бьющей из пылесоса (шланг пылесоса должен быть присоединён со стороны нагнетания воздуха), а шарик для настольного тенниса заменить теннисным мячом. Даже если отклонять струю от вертикального направления, мячик всё равно будет удерживаться в струе.

Чтобы поднять с шероховатой поверхности лист бумаги, на него надо подуть из трубочки с раструбом.

ГИДРОДИНАМИКА ЭЙЛЕРА И НАВЬЕ – СТОКСА.

Уравнение Бернулли позволяет объяснить очень много интересных гидродинамических явлений, но гораздо больше явлений, происходящих в движущихся жидкостях и газах, с его помощью объяснить нельзя. Используя это уравнение, можно прийти к парадоксальным результатам, которые невозможны в природе. В частности, получается, что при протекании жидкости по трубе постоянного сечения давление не падает и жидкость течёт, не испытывая сопротивления. Не должны испытывать сопротивления и тела, движущиеся равномерно и прямолинейно. Это явление назвали парадоксом Д’ Аламбера – Эйлера, так как он был обнаружен французским учёным Жаном Лероном Д’ Аламбером в 1744 г. и петербургским академиком Леонардом Эйлером в 1745 г. Жидкостей, обладающих подобными удивительными свойствами, в природе не встречается, поэтому такую теоретическую жидкость и назвали идеальной. В XIX веке сложилась ситуация, обычно предшествующая рождению новой науки: экспериментаторы наблюдали и регистрировали гидроаэродинамические явления, не поддающиеся объяснению, а теоретики, основываясь на представления об идеальной жидкости, получали результаты, которые довольно плохо согласовывались с реальностью.

Выводя дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости, Леонард Эйлер полагал, что силы, действующие на любую поверхность в ней, так же как и в неподвижной жидкости, перпендикулярны самой этой поверхности. Такое предположение существенно упростило уравнения движения, позволяя найти их решения и описать движение жидкости аналитически. Иногда подобные упрощения оправданны, иногда нет, и, конечно, необходимо знать, когда и почему гидродинамика Эйлера – теория идеальной жидкости – перестаёт работать.

Реальная жидкость отличается от идеальной тем, что она обладает внутренним трением, или вязкостью. Два соприкасающиеся элемента жидкости, двигающиеся в одном и том же направлении, но с разными скоростями, воздействуют друг на друга. Сила взаимодействия ускоряет медленно движущийся элемент жидкости и замедляет более быстрый. Ньютон предположил, что величина этой силы (называемой силой внутреннего трения) пропорциональна разности скоростей элементов жидкости. Конечно, в сплошной среде никаких элементов нет, и это понятие используют лишь для наглядности, а скорость жидкости распределена непрерывно. Следовательно, сила внутреннего трения F пропорциональна изменению скорости жидкости v в направлении, перпендикулярном движению, и зависит от площади S соприкосновения элементов жидкости:

Опыт Ньютона

Это закон вязкого трения Ньютона. Коэффициент пропорциональности в нём называется коэффициентом динамической вязкости (h). Жидкости, в которых внутреннее трение подобным образом зависит от изменения скорости, называются ньютоновскими, или жидкостями с линейной вязкостью.

Величину коэффициента динамической вязкости (и справедливость данного закона) Ньютон определил с помощью несложного опыта: он передвигал по поверхности жидкости пластинку с той или иной скоростью. Для того чтобы поддерживать эту скорость постоянной, требовалась сила, которая при небольшой глубине жидкости оказалась прямо пропорциональна площади S и скорости пластинки v и обратно пропорциональна глубине жидкости h:

И хотя при увеличении глубины жидкости h сила вязкого трения пластинки не становится исчезающе малой, эта формула довольно точно описывает взаимодействие между соприкасающимися элементами жидкости. Чем больше разность скоростей, тем больше сила, с которой они воздействуют друг на друга, заставляя притормаживать слишком быстро движущиеся элементы и разгоняя слишком медленные. В результате относительное движение в жидкости прекращается (но иногда это может произойти не очень скоро).

В более строгой формулировке линейная зависимость вязкого трения от изменения скорости движения жидкости называется уравнением Навье – Стокса. Оно учитывает сжимаемость жидкостей и газов и, в отличие от закона Ньютона, справедливо не только вблизи поверхности твёрдого тела, но и в каждой точке жидкости (у поверхности твёрдого тела в случае несжимаемой жидкости уравнение Навье – Стокса и закон Ньютона совпадают). Любые газы, для которых выполняется условие сплошности, подчиняются и уравнению Навье – Стокса, т.е. являются ньютоновскими жидкостями. Среди жидкостей довольно часто можно встретить такие, динамика которых описывается более сложными (по сравнению с уравнением Навье – Стокса) соотношениями: например, загустевающие краски, лаки, строительные растворы, мёд, смолы, глинистые и болотистые почвы и др. Вода, бензин, спирт, глицерин и многие другие жидкости являются ньютоновскими.

Вязкость жидкости и газа обычно существенна при относительно малых скоростях, потому иногда говорят, что гидродинамика Эйлера – это частный (предельный) случай больших скоростей гидродинамики Навье – Стокса. При малых скоростях в соответствии с законом вязкого трения Ньютона сила сопротивления тела пропорциональна скорости. При больших скоростях, когда вязкость перестаёт играть существенную роль, сопротивление тела пропорционально квадрату скорости (что впервые обнаружил и обосновал Ньютон). Такую зависимость вывел английский физик и инженер Осборн Рейнольдс (1842 – 1912).

Осборн Рейнольдс.

Критерием, который помогает ответить на вопрос, есть ли необходимость учитывать вязкость, является число Рейнольдса Re. Оно равно отношению энергии движения элемента текущей жидкости к работе сил внутреннего трения.

Рассмотрим кубический элемент жидкости с длиной ребра l. Кинетическая энергия элемента равна

.

Согласно закону Ньютона, сила трения, действующая на элемент жидкости, определяется так:

.

Работа этой силы при перемещении элемента жидкости на расстояние l составляет

а отношение кинетической энергии элемента жидкости к работе силы трения равно

.

Отношение =Re называется числом Рейнольдса. Таким образом, Re – это безразмерная величина, которая характеризует относительную роль сил вязкости. Например, если размеры тела, с которым соприкасаются жидкость или газ, очень малы, то даже при небольшой вязкости Re будет незначительно и силы трения играют преобладающую роль. Наоборот, если размеры тела и скорость велики, то Re >> 1 и даже большая вязкость почти не будет влиять на характер движения.

Однако не всегда большие числа Рейнольдса означают, что вязкость не играет никакой роли. Так, при достижении очень большого (несколько десятков или сотен тысяч) значения числа Re плавное ламинарное (от латинского lamina – «пластинка») течение превращается в турбулентное (от латинского turbulentus – «бурный», «беспорядочный»), сопровождающееся хаотическими, нестационарными движениями жидкости. Этот эффект можно наблюдать, если постепенно открывать водопроводный кран: тонкая струйка течёт обычно плавно, но с увеличением скорости воды плавность течения нарушается. В струе, вытекающей под большим напором, частицы жидкости перемещаются беспорядочно, колеблясь, всё движение сопровождается сильным перемешиванием.

Появление турбулентности весьма существенно увеличивает лобовое сопротивление летательных аппаратов и подобные ему характеристики (в трубопроводе скорость турбулентного потока меньше скорости ламинарного потока при одинаковых перепадах давления). Но не всегда турбулентность плоха. В силу того что перемешивание при турбулентности очень значительно, теплообмен – охлаждение или нагревание агрегатов – происходит существенно интенсивнее; быстрее идёт распространение химических реакций.

Однако самое удивительное в том, что турбулентность может уменьшить сопротивление некоторых тел. Эту особенность используют на практике, например в спорте.

АЭРОДИНАМИКА.

ПАРАДОКС Д¢АЛАМБЕРА – ЭЙЛЕРА.

С точки зрения физиков и математиков, занимающихся расчётами обтекания летательных аппаратов потоками воздуха, движение со сверхзвуковой скоростью проще дозвукового движения.

Однако конструкторы самолётов, летающих со скоростями порядка 800 км/ч и меньше, не спешат улучшать таким образом форму летательных аппаратов. Дозвуковые самолёты имеют довольно тупые носы, достаточно толстые длинные крылья, расположенные почти перпендикулярно фюзеляжу. Дело в том, что форма носовой части обтекаемого воздухом или жидкостью тела не очень существенна для его общего сопротивления – лишь бы не было резких, угловых изгибов.

Одним из первых результатов, поученных в процессе становления теории жидкости и газа, был так называемый парадокс Д¢Аламбера – Эйлера. Он заключается в том, что тело, движущееся в невязкой жидкости поступательно и равномерно, не должно испытывать лобового, т.е. направленного вдоль движения, сопротивления. Сначала этот результат был получен для обтекания невязкой жидкостью простых геометрических тел – цилиндра и шара – и его можно было объяснить симметричностью их формы. Но позднее оказалось, что тело любой, самой причудливой формы не имеет в соответствии с теорией обтекания лобового сопротивления, причём составляющая силы, перпендикулярная скорости движения, не обязательно равна нулю. Теоретическое отсутствие лобового сопротивления существенным образом противоречило эксперименту. Из этого противоречия был сделан вывод, что теория невязкой жидкости неверна, а потому бесполезна.

Однако развитие гидроаэромеханики привело к созданию теории пограничного слоя. Оказалось, что реальные жидкость и газ часто весьма похожи на идеальную невязкую жидкость и только непосредственно вблизи поверхности тела (в пограничном слое) проявляют вязкие свойства – скорость газа или жидкости начинает быстро уменьшаться и становится равной нулю на поверхности тела.

При обычных условиях обтекания (не очень маленьких скоростях и размерах обтекаемых тел, не очень большой вязкости) размерами пограничного слоя можно просто пренебречь. Но пограничный слой ведёт себя довольно капризно – если тело имеет выступы или углы (например, кубик или пластинка, поставленная поперёк набегающего потока), он может оторваться от поверхности и тогда картина обтекания нарушится. Обтекание тела в этом случае нельзя считать безотрывным, а безотрывность обтекания – одно из основных условий выполнения парадокса Д¢Аламбера – Эйлера. Если линии тока не смыкаются за телом и за ним тянется «хвост» увлекаемой жидкости, значит, должна тратиться энергия на вовлечение в движение всё новых и новых участков жидкости. Иначе движение тела не будет равномерным и поступательным – тело должно преодолевать сопротивление окружающей его жидкости или газа.

Рассмотрим эту ситуацию на примере обтекания цилиндра или шара. По бокам цилиндра в соответствии с законом неразрывности течение жидкости должно ускоряться, что, согласно закону Бернулли, приведёт к падению давления. Если обтекание безотрывное, то трубки тока за телом расширяются, и поток замедляется, создавая область повышенного давления. В результате идеальная жидкость не оказывает сопротивления движущемуся в ней симметричному току. В реальном же течении вязкое трение в пограничном слое гасит скорость потока – у элементов жидкости уже нет энергии для выдвижения в ту область, где в случае идеальной жидкости было повышенное давление. За телом возникает вихревое движение жидкости.

Интересно, что точка отрыва пограничного слоя в случае турбулентного обтекания шара или цилиндра находится ниже по течению потока, чем при ламинарном обтекании. Соответственно турбулентный «хвост» увлекаемой за телом жидкости значительно меньше ламинарного. Вот этим и объясняется тот парадоксальный факт, что лобовое сопротивление плохообтекаемых тел (типа цилиндра или шара) значительно снижается при переходе обтекания к турбулентному режиму. Если бы удалось каким-то образом задержать отрыв, перенести точку отрыва на заднюю кромку обтекаемого тела, то парадокс Д¢Аламбера – Эйлера был бы реализован на практике: сопротивление тела состояло бы только из всякого сопротивления пограничного слоя.

Проблема создания такой формы крыла, чтобы поток не отрывался от поверхности,– одна из важнейших в самолётостроении. Предлагалось множество способов борьбы с явлением отрыва потока на верхней плоскости крыла – например, отсасывать «вредный» пограничный слой с поверхности крыла через множество мелких отверстий в ней.

Таким образом, очевидно, что для дозвуковых самолётов не очень важна конфигурация передней части обтекаемого тела. Она может быть достаточно затуплённой – конструктивно это более удобно, чем заострённая форма. Наиболее существенна для сопротивления задняя часть крыла – она должна плавно, без резких изменений формы, сходить на нет.

Получается, что для дозвукового обтекания заострённая передняя кромка крыла не только не уменьшает сопротивления, но может его увеличить при больших углах атаки (1).