Формулы прямоугольников

Отрезок [a; b] разбивается на n равных частей длины и для точек деления x_0, x_1, х₂,… x_n вычисляются значения интегрируемой функции y=f(x). Считаем, что х₀=а, х_n=b. Площадь криволинейной трапеции заменяется суммарной площадью полученных прямоугольников.

В этом случае для вычисления определенного интеграла получаем приближенное выражение (формула левых прямоугольников):

≈ h(y₀ + y₁ + … + y_n-1) = (2)

Если за узел интерполирования на каждом частичном отрезке брать правый конец, то получим формулу правых прямоугольников:

≈ h(y₁ + y₂ + … + y_n) = (3)

Если за узел интерполирования на каждом частичном отрезке брать середину отрезка, то получим формулу средних прямоугольников:

≈ (4)

Вычисленное значение тем точнее, чем больше число n. Оценка погрешности при вычислении по формулам прямоугольников определяется выражением:

, (5)

где , а - максимальная величина абсолютного значения первой производной во всем интервале интегрирования.

Формула трапеций

Данный метод приближенного вычисления интеграла отличается от методов прямоугольников тем, что площадь криволинейной трапеции заменяется суммарной площадью прямоугольных трапеций.

≈ (6)

Оценка погрешности при вычислении по формуле трапеций определяется формулой

(7)