в постановке В.З. Власова


Как отмечалось, такая модель стержня достаточно подробно отражена в учебном пособии [6].

Здесь мы очень кратко опишем идею В.З.Власова и приведем только общий вид линеаризованных уравнений устойчивости для выделенной из стержня открытого профиля элементарной полоски, предполагая, что в докритическом состоянии она не искривлена.

Поперечное сечение произвольной формы (Рис. 12.3 ) не искажается в своей плоскости в процессе деформации. Это предположение позволяет выразить смещения произвольной точки контура М через смещения произвольного полюса и угол поворота относительно этого полюса.

, . (12.13)

Деформация срединной поверхности стержня удобно описывается не в декартовых координатах , в которых задана форма контура, а в криволинейных ортогональных координатах: - вдоль образующей и - по контуру поперечного сечения (Рис. 12.4 ).

Тогда смещения v по касательной к контуру записываются так

(12.14)

где - расстояние от полюса P до касательной к контуру в точке М.

Вторая гипотеза касается плоской деформации сдвига

. (12.15)

Такая гипотеза позволяет выразить продольные смещения u любой точки контура через ее смещения v по касательной к контуру

(12.16)

Здесь - продольные смещения точки контура, принятой за начало отсчета координаты .

Выражение (12.15) с учетом (12.14) принимает вид

, (12.17)

где обозначено

. (12.18)

Функция геометрически представляет собой удвоенную площадь сектора (Рис.12.5) образованного частью контура от начала отсчета до текущей точки s и радиусами, соединяющими эти точки с полюсом P. В связи с этим величина названа В.З.Власовы секториальной площадью.

Следует, однако, понимать, что эта площадь может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от того, в какую сторону (Рис.12.6) вращается при обходе контура подвижный радиус относительно полюса. Это обстоятельство весьма существенно для выбора точки при вычислении связанных с с геометрических характеристик всего сечения.

Таким образом в отличие от закона плоских сечений выражение (12.15) учитывет не только смещения и поворот, но и депланацию поперечного сечения по секториальному заклну.

В плоской задаче теории упругости эти уравнения выглядят так:

,

,

,

и описывают растяжение оси жесткости приложенной по этой оси нагрузкой , изгиб стержня в главных центральных осях поперечной нагрузкой , и кручение под действием крутящего момента .

Известно, что уравнений равновесия такой полоски нам недостаточно, и мы должны записать уравнения равновесия деформированного, искривленного элемента - сжатого и закрученного. Соответствующие уравнения, линеаризованные с учетом малости отклонений, могут быть получены из этой системы заменой реальной поперечной нагрузки фиктивной нагрузкой за счет проекции докритических напряжений в деформированном элементе на нормаль к его оси. В самом общем случае эти уравнения принимают вид [1]:

 

 

(12.18)

Здесь , , - докритические продольная сила и изгибающие моменты в поперечных сечениях стержня, , - координаты центра жесткости, а дополнительные геометрические характеристики сечения

,

, (12.19)

.

Эта система имеет в общей сложности 12 порядок. Её решение должно удовлетворять 12 однородным граничным условиям на двух концах стержня – по две пары для каждой из трёх искомых функций.

Граничные условия для функций прогибов оси стержня записываются как для обычных, нетонкостенных стержней. Граничные условия в отношении закручивания стержня при отсутствии упругих связей на торцах имеют вид

или ,

или (12.20)

Первая пара условий означает отсутствие угла поворота торца или крутящего момента, препятствующего этому повороту.

Вторая пара означает отсутствие депланации (полное стеснение) или отсутствие бимомента самоуравновешенных напряжений на торце. Таким образом, если торец загружен продольной силой, сжимающей или растягивающей или растягивающей стержень, то оказывается существенной не только её величина, но и характер приложения в виде распределения по торцу нормальных напряжений. В частности, если торец загружен внешней нормальной нагрузкой так, что величина , то граничное условие перестает быть однородным, и мы имеем дело с задачей изгибного кручения, а не с задачей на собственные значения, характерной для устойчивости стержня.

В общем случае система имеет переменные коэффициенты, и её следует решать численно или применять вариационные методы.

Для того чтобы уяснить механизм потери устойчивости а также обосновать выбор систем аппроксимирующих функций рассмотрим простейший случай, допускающий аналитическое решение.

Пусть стержень загружен только по торцам сжимающей нагрузкой , равнодействующая которой проходит через центр масс профиля. В этом случае, который следует называть центральным сжатием, в докритическом состоянии мы имеем

и система (12.18) принимает вид

 

 

(12.21)

Пусть к тому же профиль имеет две оси симметрии. Тогда его центр тяжести совпадает с центром масс, и система (12.18) вследствие распадается на независимые уравнения.

Первые два однотипны, а последнее условие принимает вид

и тоже имеет стандартную структуру с коэффициентом .

Поэтому

, , (12.22)

Из трех значений критическим будет наименьшее. Следовательно, тонкостенный стержень может иметь кроме изгибных форм также и крутильную форму потери устойчивости.

Для несимметричного профиля при , , при шарнирных условиях опирания торцов решение можно искать в виде

, , , ( ).

Внося эти аппроксимации в систему (12.21) и приравнивая вследствие ортогональности каждый член к нулю, получим систему

, (12.23)

где с учетом принятых обозначений матрица

0

0 (12.24)

Характеристическое уравнение относительно Р имеет вид

, (i=1,2,3,…)

где

,

,

,

.

Анализ корней этого уравнения показывает, что наименьший из них всегда соответствует i=1, причем корень этот всегда оказывается меньше любого из собственных значений (12.22), получаемых при чисто изгибной и чисто крутильной формах потери устойчивости.

Кроме того, связанность уравнений системы (12.23) (12.24) свидетельствует о том, что центрально сжатый стержень с несимметричным профилем сечения всегда теряет устойчивость по изгибно-крутильной форме.

Ниже в таблице приведены результаты расчетов по Эйлеру и по теории тонкостенных стержней В.З.Власова для профиля Рис. 12.7 с параметрами

, , см, см,

, , , .

L , см
, кг З6000
, кг
, 12,9 3,75 1,85 1,3 1,06

в зависимости от длины стержня

Результаты при других способах нагружения тонкостенных

стержней можно посмотреть в пособии [6].

Окончательно заметим, что расхождение результатов тем меньше, чем больше длина стержня. Иначе формула Эйлера дает очень завышенный результат.

 



Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 1273;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.014 сек.