Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Ранг матриці системи

Елементи лінійної алгебри

Лекція 1.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Однорідні системи. Ранг матриці системи. Теорема Кронекера - Капеллі, наслідки з неї. Критерій сумісності СЛАР. Фундаментальна система розв’язків СЛАР. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса

 

 

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Ранг матриці системи

 

Систему m лінійних рівнянь з n невідомимими будемо записувати у вигляді:

, (1)

де x1, x2, ¼, xn – невідомі величини, aij (i = 1,2, ¼, m;
j =1, 2, ¼, n) – числа, які називають коефіцієнтами системи (перший індекс показує номер рівняння, другий — номер невідомої), b1, b2, ¼, bm – числа, які називаються вільними членами.

Розв’язком системи називається впорядкований набір чисел x1, x2, ¼, xn, який перетворює кожне рівняння системи у правильну рівність.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв’язок.

Якщо система має тільки один розв’язок, то вона називається визначеною. Система, яка має більш, ніж один розв’язок, називається невизначеною.

Якщо система не має жодного розв’язку, то вона називається несумісною.

Система, у якої всі вільні члени дорівнюють нулеві (b1 = b2= bn = 0), називається однорідною. Однорідна система завжди є сумісною, так як набір з n нулів задовольняє будь-якому рівнянню системи (система має нульовий або тривіальний розв’язок).

Якщо число рівнянь системи співпадає з числом невідомих (m=n), то система називається квадратною.

Дві системи, множини розв’язків яких співпадають, називаються еквівалентними або рівносильними,тобто кожен розв’язок першої системи є розв’язком другої системи, і кожен розв’язок другої системи є розв’язком першої.

Дві несумісні системи є еквівалентними.

Перетворення, внаслідок якого система перетворюється у еквівалентну їй систему називається еквівалентним або рівносильним перетворенням. До еквівалентних перетворень належить: перестановка місцями двох рівнянь системи; перестановка місцями двох невідомих разом із коефіцієнтами у всіх рівняннях; перемноження обох частин будь-якого рівняння системи на відмінне від нуля число.



Подамо систему (1) у матричному вигляді.

Матрицю називають основною матрицею, а матрицю - розширеною матрицею системи.

Позначимо через X та B матриці-стовпці , , складені з невідомих і вільних членів. Тоді система (1) набере вигляду

. (2)

Такий запис системи називається матричним.






Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 225;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2017 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.005 сек.