Преобразование Фурье; вводные замечания

Преобразования Фурье и Лапласа

Приводятся условия, которым должна удовлетворять преобразуемая по Фурье функция f(t). Рассуждения распространяются на специальный случай преобразования Фурье - преобразование Лапласа. Дано (в виде таблицы) перечисление некоторых свойств преобразований Фурье и Лапласа. Рассмотрено обратное преобразование на основе применения теории вычетов. Для иллюстрации приложений обратного преобразования, а также выявления основных ограничений в теории преобразований Фурье и Лапласа, приводится несколько примеров. Наконец, класс преобразуемых по Фурье функций, путем применения множителя, улучшающего сходимость, распространяется на функции единичного скачка и степенные.

Преобразование Фурье; вводные замечания

Пара преобразований Фурье, применяемая далее, определяется соотношениями

, (1.1-1)

, (1.1-2)

где s=jw*). Доказательство того, что выполнение интегральных операций, определяемых соотношениями (1.1-1) и (1-1-2), приводит к исходной функции f(t), представляется очевидным. Подставив функцию F{s) (1.1-1) в (1.1-2) и заменяя в (1.1-2) t на х, приходим в результате к теореме о преобразовании Фурье

. (1.1-3)

Условиями, налагаемыми на f{t) для того, чтобы она была преобразуема по Фурье, являются так называемые условия Дирихле 1—3 для любого конечного интервала t₁<t<t₂ и условие сходимости 4:

1) функция f{t) может иметь только конечное число разрывов;

2) функция f{t) может иметь только конечное число точек, в которых она обращается в бесконечность;

3) функция f{t) может иметь только конечное число максимумов и минимумов;

4) интеграл должен быть сходящимся.