Множество. Операции над множествами

Понятие множества в математике является первичным и, поэтому, не может быть определено через другие, более элементарные понятия. Множества в математике могут состоять из чисел, векторов, матриц, функций и других объектов.

Множества обозначаются прописными буквами .

Объекты, из которых образовано множество, называются элементами множества или точками и обозначаются строчными буквами ; .

Если объект принадлежит множеству , это записывается таким образом: ; если объект не принадлежит множеству , это записывается таким образом: .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является одновременно элементом множества и обозначается .

Множества и называются равными, если каждый из них является подмножеством другого и обозначается .

В математике удобно использовать теоретико-множественные и логические кванторы:

– квантор всеобщности, читается «для любого», «для всех», «для каждого»;

– квантор существования, читается «существует», «найдется», «имеется»;

– квантор следствия, читается «следует», «вытекает», «если …, то …»;

– квантор эквивалентности, читается «эквивалентно», «равносильно», « … тогда и только тогда, когда …».

Определение подмножества можно записать следующим образом:

,

а равенства множеств и теперь можно записать так:

.

Множества можно задать различными способами:

если , то будем говорить, что множество задано перечислением элементов;

если , то будем говорить, что множество задано характеристическим предикатом или множество задано с помощью некоторого свойства .

Примеры некоторых стандартных числовых множеств:

– множество натуральных чисел;

– множество целых чисел;

– множество рациональных чисел (множество десятичных бесконечных периодических дробей);

– множество иррациональных чисел (множество десятичных бесконечных непериодических дробей);

– множество вещественных чисел;

– множество комплексных чисел.

Стандартные числовые промежутки:

– отрезок;

– интервал;

– полуинтервал;

– полуинтервал;

– замкнутая полуось;

– открытая полуось;

– замкнутая полуось;

– открытая полуось;

– числовая ось.

Пусть даны множество (Рис 1.) и множество (Рис 2.).

Рис. 1 Рис. 2

Объединением множеств и называется множество, если оно содержит только все элементы множества и все элементы множества . Объединение множеств и обозначается (Рис 3.).

Пересечением множеств и называется множество, если оно содержит только все элементы, принадлежащие множествам и одновременно. Пересечение множеств и обозначается (Рис 4.).

Рис. 3 Рис. 4

Разностью множеств и называется множество, если оно содержит только все элементы принадлежащие множеству , не принадлежащие множеству . Разность множеств и обозначается (рис. 5). На рис. 6 изображена разность .

Рис. 5 Рис. 6