Свойства сравнимости.

1. . Рефлексивность

2. . Симметричность

3. и . Транзитивность

Из этих 3 свойств следует, что сравнимость является отношением эквивалентности в , и распадается на непересекающиеся классы.

Свойство 4. и

Докажем это свойство, оно не очевидно.

, тогда =

, то есть снова делится на n.

Пример. 4 и 7 5 и 8 разность 3 тогда 9 и 15 разность кратна 3 тоже.

Свойство 5. и

Докажем это свойство.

, тогда ,

, это делится на n.

Пример. 4 и 7 5 и 8 разность 3 тогда 20 и 56 разность 36, кратна 3.

называется представителем класса .

Если то .

Классы вычетов попарно не пересекаются:

Обозначим - множество всех классов вычетов по модулю n. Введём на этом конечном множестве из n элементов операции сложения и умножения: , .

Это можно сделать, так как из свойств 4 и 5, ранее доказанных, следует, что произведение не зависит от выбора представителя класса.

Итак, на конечном множестве из n элементов заданы 2 операции, сложение и умножение. Множество классов вычетов тоже образует кольцо . Это коммутативное кольцо с единицей.

Другое обозначение класса вычетов: .

Например, = .

- - - Перерыв - - -

Очевидно, в , так как само делится на с остатком 0.

Составим таблицы сложения. Первый пример - для

+

Обратите внимание, 3 простое число, и при умножении в каждой строке есть все классы.

Составим таблицы сложения и умножения для кольца .

+

Так, к примеру, 2+3=5, но число 5 превосходит 4 на 1, то есть попадает в класс .

, но 4 эквивалентно 0, поэтому . Как видим, в этой системе могут быть и делители нуля, а в строке, соответствующей , присутствуют не все классы вычетов.

Далее для доказательства свойств колец вычетов нам понадобятся некоторые факты из теории чисел (доказывали их на практике).

Лемма. Если НОД чисел , то существуют такие , что .

Следствие. Если взаимно просты, то существуют такие , что .

Теорема 4.Пусть - кольцо вычетов, . Эквивалентны следующие условия:

(1) является обратимым элементом в .

(2) числа , взаимно просты.

Доказательство.

(1) (2). Пусть является обратимым в , докажем, что , взаимно просты. Пусть НОД чисел , равен . Тогда делится на , т.е. . Обратимость означает, что . То есть, остаток от деления на должен быть 1, то есть имеет вид . Докажем, что это невозможно. Пусть , тогда . Левая часть равенства делится на , тогда и правая должна делиться на , но там только в первом слагаемом есть , делящееся на , а 1 не делится. Таким образом, невозможно, и не обратимый. Противоречие. Таким образом, , должны быть взаимно просты.

(2) (1). Докажем, что если взаимно просты, то обратимый. Взаимно просты означает, что существуют , такие что . Тогда , но ведь , так что , так что является обратимым элементом в .

Теорема 5.Пусть - кольцо вычетов, .

не делитель нуля , взаимно просты.

Доказательство.

(1) (2). Пусть НОД чисел , равен . Тогда , , очевидно . Рассмотрим = = = . То есть, делится на . А значит, = , то есть делитель нуля. Итак, если он не делитель нуля, то , взаимно просты.

(2) (1). Если , взаимно просты, то по прошлой теореме 4, является обратимым элементом в . По теореме 2, если какой-то элемент обратим, то он не может быть делителем нуля.

Следствие.Пусть - кольцо вычетов, .

Эквивалентны 3 факта:

1) , взаимно просты.

2) не делитель нуля

3) является обратимым элементом в .

Следствие.Если n простое число, то подкольцами в являются только { } и само (нетривиальных подколец нет).

(Идея док-ва. Так как, если n простое число, то оно взаимно-просто относительно любого из чисел , и в каждой строке в таблице умножения - некая перестановка из всех элементов).

В кольце есть подкольцо, а именно, состоящие из и , так как 4 не простое число. В таблице видно, что результаты сложения и умножения и принадлежат только этому же подмножеству:

ЛЕКЦИЯ 3. 16.11.2020

Поля

Определение. Пусть - коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим. В таком случае называетсяполем.

Отличие от кольца: - абелева группа, она называется мультипликативной группой поля.

Примеры.

не поле, так как почти все элементы не обратимы (кроме 1 и ).

поле n простое число.

поле рациональных чисел.

поле действительных чисел.

= , где расширение поля иррациональным числом . Произведение пары таких чисел тоже имеет данный вид.

= .

Каждое такое число обратимо, и обратное имеет тот же вид.

= (домножили на «сопряжённое», чтобы использовать формулу разности квадратов). Далее,

= .

Аналогично существуют , и т.д. Но все эти расширения поля - лишь часть поля .

Кольцо классов вычетов является полем простое число (тогда нет делителей нуля, каждый элемент обратим).

Определение. Подмножество называется подполем, если оно само является полем относительно введённых в операций.

Примеры. , , но при этом сами не являются одно подполем другого.

Теорема 1.(Критерий подполя).

Пусть поле, . является подполем выполнены условия:

1) : ,

2) :

Доказательство. Если подполе, значит оно само есть поле, тогда это абелева группа по сложению, а значит , и тогда . А также это группа по умножению, т.е. обратим, тогда