Функция является обратимой, так как она монотонна.

6. Нулей функции нет, так как уравнение у = 0 , то есть корней не имеет.

7. Промежутки знакопостоянства: при , так как

при

при

при

8. Функция ограничена снизу, так как при .

9. Любая показательная функция проходит через точку (0; 1) , так как при

х = 0 .

Замечание:

1) При а > 1функция возрастает тем быстрее, чем больше а;

2) При 0 < а < 1 функция убывает тем быстрее, чем меньше а.

х
у
- 3
- 2
- 1


0 < а < 1

х - 3 - 2 - 1
у

а > 1 а = 2

х - 3 - 2 - 1
у

Упражнения:

1. Перечислите свойства функции и постройте ее график:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Найдите множество значений функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Сравните числа:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) .

5. Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая – убывающей на множестве действительных чисел R:

а) ; б) ;

в) ; г) .

1. Показательные уравнения.

Определение: Показательными уравнениями называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

 

1) , а > 0 , а ¹ 1

 

На основании определения степени с нулевым показателем решение уравнения сводится к решению уравнения f(x)=0:

.

Пример: Решить уравнение: .

Решение:

; 1 = 20; ;

; ; ;

; ; х1 = 2; х2 = 3.

Ответ: х1 = 2; х2 = 3.

Упражнения: Решить уравнение :

1. а = 2 f (x)= x2- 40 x + 300;

2. а = 5 f (x)= (x2+ x - 2)(3- x);

3. а = 3 ;

4. а = 2 f (x)= x2- 7 x + 12;

5. a = 0,5 .

2) , а > 0 , а ¹ 1

 

Левая и правая части уравнения приведены к одному основанию. В этом случае корнями уравнения будут корни уравнения .

 

.

 

Пример: Решить уравнения:

1) .

Решение: ; ; ;

; ; ; ;

; ; х1 = ; х2 = 1.

Ответ: х1 = ; х2 = 1.

2) .

Решение: ; 128 = 27;

; ; 6 х = 7; х = .

Ответ: х = .

3) .

Решение:

; ; ; ;

; ; ;

; ; х1 = - 1; х2 = 3.

Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.

Упражнения: Решить уравнения:

1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. .

3) , а > 0 , а ¹ 1 , b > 0 , b ¹ 1 , а ¹ b

 

Уравнение решается делением обеих частей на .



 

Пример: Решить уравнения:

1) .

Решение: Разделим обе части уравнения на .

; ; ; х - 2 = 0; х = 2.

Ответ: х = 2.

2) .

Решение: ; ; ;

Умножим обе части уравнения на .

; ; ; х - 3 = 0; х = 3.

Ответ: х = 3.

Упражнения: Решить уравнения:

1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .

4) , а > 0 , а ¹ 1

 

Особенностью уравнения является наличие одного и того же коэффициента перед х. Для решения этого уравнения выносят за скобки общий множитель , где k i - наименьшее из чисел k0 , k1 , k2 , … , kп .

Пример:

1) .

Решение: ; ; ; ; ; ; х = 4.

Ответ: х = 4.

2) .

Решение:

; ;

; ;

; ; 3х - 2 = 2х - 2; 3х - 2х = 2 - 2; х = 0.

Ответ: х = 0.

3) .

Решение:

; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ; ; .

Ответ: .

Упражнения: Решить уравнения:

1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;

5) , а > 0 , а ¹ 1

Уравнение с помощью подстановки обращается в квадратное уравнение: . Решив квадратное уравнение, найдем у1, у2 . После этого решение уравнения сводится к решениюдвух уравнений: , .

 

Пример:

1) .

Решение: ; ; ;

; ; ;

; ; у1 = - 4; у2 = 2;

- уравнение корней не имеет, так как ;

; х = 1.

Ответ: х = 1.

2) .

Решение:

; ; ;

; ; ;

; ; у1 = 1; у2 = 3;

; х2 - 1 = 0; х2 = 1; х1 = - 1; х2 = 1;

; х2 - 1 = 1; х2 = 2; х3 = ; х4 = .

Ответ: х1 = - 1; х2 = 1; х3 = ; х4 = .

Упражнения: Решить уравнения:

1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) .

6) , а > 0 , а ¹ 1, b > 0 , b ¹ 1.

Отметим, что в выражении показатели степеней в первом и третьем слагаемых вдвое больше показателей степеней во втором слагаемом. Такие выражения называются однородными 2-ого порядка. А уравнения вида называются однородными 2-ого порядка. Разделив уравнение на , получим: .

Уравнение с помощью подстановки обращается в квадратное уравнение:. Решив квадратное уравнение, найдем у1, у2 и, возвращаясь к первоначальной переменной, получим два уравнения и .

 

Пример: .

Решение: ; ;

Разделим обе части уравнения на :

; ;

; ; ;

; ; у1 = ; у2 = 1;

; х1 = 1; ; х2 = 0.

Ответ: х1 = 1; х2 = 0 .

Упражнения: Решить уравнения:

1) ; 2) ;
3) ; 4) .





Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 279; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2017 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.022 сек.