Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим движение твердого тела, при котором две точки его остаются неподвижными; такое движение представляет вращение тела вокруг проходящей через неподвижные точки прямой, называ­емой осью вращения. Пусть ось вращения тела совпадает с осью Oz. Чтобы опреде­лить положение тела, проведем через ось Oz две полуплоскости: подвижную Q, твердо связанную с вращающимся телом, и непод­вижную Р (рис. 25). Заданием двугранного угла φ(t) между этими полуплоскостями положение твердого тела вполне определяется.

О

Z

φ(t)

Р

Q

h

Рис 25

Мо

М

S(t)

Траекторией любой точки М твердого тела, вращающегося во­круг неподвижной оси, является окружность (рис. 25), располо­женная в плоскости, проведенной через М перпендикулярно к оси вращения; центр этой окружности находится в пересечении только что упомянутой плоскости и оси вращения; радиус окружности равен расстоянию h точки М от оси вращения. Дуга S(t), отсчитан­ная от начального положения Мо точки до положения ее М в мо­мент t, соответствующая углу поворота φ, равна S(t)=hφ(t). Направляя, как всегда, касательную к траектории точки, в дан­ном случае окружности, в сторону возрастания дуги, определим скорость в проекции ее на касательную:

(28)

величина h вынесена за знак производной по времени как расстоя­ние точки до оси, не изменяющееся при вращении твердого тела. Величину ω назовём угловой скоростью вращения тела. Скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвиж­ной оси, равна произведению угловой скорости тела на расстоя­ние точки до оси вращения. Направление вектора скорости определится касательной к окруж­ности, по которой движется точка. Таким образом, можно установить следующий закон распреде­ления скоростей в теле, вращающемся вокруг неподвижной оси: в данный момент времени скорости различных точек тела про­порциональны их расстояниям от оси вращения и направлены в сторону вращения тела перпендикулярно к плоскостям, про­ходящим через ось вращения и рассматриваемые точки.

При вычислении линейных скоростей точек вращающегося тела по формуле (28) необходимо помнить, что угловая скорость должна быть выражена в рад/сек, (1/сек). Перейдем к рассмотрению ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Воспользуемся для этого формулами проек­ций ускорения на касательную и главную нормаль к траектории - и данном случае окружности радиуса h:

, (2.9)

α

Рис.26

здесь обозначено , где через ε обозначено угловое ускорение. Касательную и нормальную составляющие ускорения принято называть соответственно вращательной и осестремительной составляющими ускорения, или кратко вращательным и осестремительным ускорениями.

Осестремительная проекция ускорения, как видно из послед­ней формулы, всегда положительна, т.е. осестремительное ускорение всегда направлено по радиусу окружности от точки к оси вращения. Что же касается вращательной соста­вляющей, то она направлена по касательной в сторону положительного отсчета углов (и дуг), если ε > 0, и в противо­положную сторону при ε < 0. На рис. 26 показано взаимное расположение вращатель­ного и центростремительного ускорений и скорости при одном и том же направлении вращения тела. Полное ускорение точки вращающегося тела

,

угол α, образованный вектором ускорения (рис. 26) с направлением нормали к траектории: .

Таким образом, приходим к следующему закону распределения ускорений в твердом теле, вращающемся вокруг неподвижной оси: в данный момент времени ускорения точек тела пропорциональны расстояниям точек от оси вращения и наклонены под одинако­выми углами к радиусам вращения.

Рассмотрим пример. Сравним скорости и ускорения на ободе маховика паровой машины, имеющего диаметр D=l,5м и вращающегося с угловой скоростью N =240 об/мин, и турбинного диска, имеющего диаметр 10 см и совершающего 18 000 об/мин.

В первом случае , h=D/2=0.75ми, следовательно, V=0,75•8π=18,85м/сек . Окружная скорость и центростремительное ускорение точки обода тур­бинного диска будут:

,

Ускорение частицы на ободе диска в 126000 раз превосходит ускорение силы тяжести g=9,81 .