Расчет основных характеристик одномерных фильтрационных потоков жидкости и газа

Для расчета перечисленных характеристик одномерных фильтрационных потоков жидкости и газа можно использовать два подхода. Первый из них вывод дифференциальных уравнений и их решение отдельно для прямолинейно-параллельного, плоскорадиального и радиально-сферического потоков жидкости и газа. Второй-вывод обобщенного уравнения одномерного течения флюида в недеформируемой трубке тока переменного сечения с использованием функции Лейбензона и получение из него конкретных формул применительно к различным схемам фильтрационных потоков. Второй подход более эффективен, позволяет исходить из обобщенных характеристик течения. Он используется в настоящем учебнике. В случае одномерного течения флюида в недеформируемой трубке тока переменного сечения (смотри рисунок 1.5) массовый расход по всей длине струйки сохраняется постоянным:

Qs=pQ=pwω(s)=const, (2.1)

где s - координата, взятая вдоль линии тока, возрастающая по течению флюида.

Рисунок 1.5. Трубка тока

Запишем закон Дарси (2.2) через функцию Лейбензона (2.3). Для этого умножим правую и левую части уравнения (2.2) на плотность флюида р(р) и на площадь сечения ω(s):

, (2.2)

(2.3)

получим:

.

На основании формулы (2.3) можно заменить ρdp = dР

Тогда:

. (2.4)

Это дифференциальное уравнение является основным при расчете одномерных потоков.

Найдем из него распределение функции Лейбензона по длине струйки Р(s) и выведем формулу для расчета дебита. В уравнении (2.4) разделим переменные

. (2.5)

и проинтегрируем в пределах от s=s₁где известно значение функции Лейбензона Р=Р₁до текущего значения s и соответствующего ему Р:

. (2.6)

Обозначим

, (2.7)

Тогда

, (2.8)

Интегрируя (2.5) по s в пределах от s₁до s₂ и по P от P₁ до P₂ , получим:

. (2.9)

Из последнего равенства найдем массовый расход:

, (2.10)

где:

. (2.11)

Формула (2.9) является аналогом закона Ома: силе тока соответствует дебит, электрическому потенциалу - функция Лейбензона, и по аналогии с электрическим сопротивлением знаменатель формулы (2.9) R₁₂ , т.е. выражение (2.11), называют фильтрационным сопротивлением. Подставив выражение для массового расхода из (2.9) в (2.8), получим окончательно:

. (2.12)

Массовая скорость фильтрации определяется равенством:

. (2.13)

Из соотношения (2.12)

,

тогда:

. (2.14)

Зная конкретные зависимости плотности р и функции Лейбензона Р от давления для различных флюидов, а также выражения R_1s, R₁₂. ω(s)для разных одномерных потоков, можно рассчитать распределение давления p(s),скорости фильтрации w(s),получить формулы для массового и объемного расходов. По распределению давления в дальнейшем найдем средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление, определяемое по формуле:

, (2.15)

где Vn-общий объем порового пространства пласта.

Время движения отдельных частиц флюида определяется решением уравнения:

.

При условии, что в начальный момент t = 0 частица имела координату s = s₀, получим:

(2.16)

Запишем теперь полученные в общем виде формулы (2.10), (2.12), (2.14) в конкретном виде для каждого из одномерных потоков жидкости и газа.